Во–вторых, как происходит это увеличение и в каком направлении оно движется? Конечно, по принятому условию мы уже не можем сказать, что тут происходит выявление организма в деталях, его развертывание и живая жизнь. Мы оставляем из этой картины только тот чисто формальный момент, что каждая точка органического роста повторяет организм в целом, неразрывна с ним и неотъединима от него. Математически это значит только то, что, скажем, тройка повторяется в каждой своей единице полностью и целиком, так что получается не просто три единицы, как раньше, но три тройки. Это и значит, что тройка воспроизвела себя в каждом своем отдельном моменте. Тут забыта идея организма, но зато это не биология, а математика, и на своем—математическом—языке математика вполне точно выразила идею роста организма. Тут произошел перевод с языка биологического на язык математический.

Наконец, в–третьих, мы не можем забыть, оставаясь на формальноматематической позиции, и того конечного момента, до которого происходит или отмечается рост организма. Раз дано увеличение, то естественно спросить, до каких размеров доходит это увеличение. Это— тоже математика. И вот, понимая эту мысль чисто математически, мы опять должны наше суждение о пределе роста организма трактовать как суждение о том, сколько раз организм повторил себя самого в себе самом, сколько раз эта тройка отразилась сама в себе. Об этом и трактует т. н. показатель степени. Если есть тройка и мы заставили ее еще раз повториться, и повториться в каждом ее отдельном моменте, мы получаем показатель 2. Эта двойка указывает на то, что первоначальная тройка есть, во–первых, нечто само по себе, а во–вторых, она повторила себя в себе же. Показатель 3 указывает, что кроме основной тройки мы имеем первое повторение тройки в самой себе и еще второе повторение. И т. д. Без этого суждения о размерах роста, конечно, не было бы точного представления о нем самом и, след., о самом организме.

Так происходит перевод идеи органического роста на язык чисел. В числовом отношении это есть только возведение в степень.

с) Какое отличие возведения в степень от извлечения корня? Возведение в степень есть символ органического роста; извлечение же корня, очевидно, низводит нас от законченной формы развития к форме первоначальной. Тут происходит действительно некое извлечение корня в буквальном смысле слова; и мы, имея какой–нибудь растущий в земле цветок, как бы хотим узнать, из какого своего основания растет этот цветок, и вынимаем из земли его корешок, чтобы убедиться воочию в существовании этого основания и узнать его свойства. Какая категория действует в извлечении корня по сравнению с возведением в степень?

И там и здесь идет речь об органической жизни, и только в одном случае мы движемся от корня к стволу и завершительным формам, в другом же — от этих последних к корню. Движение органического роста одинаково характерно для обоих действий. Но как охарактеризовать не описательно, а чисто логически, и притом точно, разницу этих двух типов движения органического развития? Когда тройка возводится, скажем, в четвертую степень, то, как мы уже знаем, это приводит к тому, что тройка четыре раза повторит себя саму в своих отдельных единицах. Почти то же самое происходит и при извлечении корня. Но совершенно ясно, что для получения именно степени, а не корня необходимо сосчитать, суммировать все получившиеся от этой операции тройки, т. е. отождествить всех их в одно нераздельное и совершенно единое, даже единичное целое. Для получения же корня, в случае, скажем, извлечения корня четвертой степени из 81, надо, наоборот, в этом общем процессе органического развития отделить от всего целого то основное, что именно было взято для целей развития, отличить его от всего целого. Возводя в степень, мы отождествляем все тройки в одно целое, как бы вытягиваем их в одну однообразную линию 81 точки, в то время как при извлечении корня мы отвлекаемся от целого и стремимся, наоборот, к выделению из 81 основной тройки и к фиксации ее именно β отличие от 81. Итак, разница между возведением в степень и извлечением корня заключается в том, что в первом случае мы стремимся к органическому целому, явившемуся в результате развития и отождествления всех отдельных моментов этого развития в одном целом, в другом же случае мы стремимся от органического целого, явившегося в результате развития, к отличению отдельных моментов, из которых состоит это развитие, и прежде всего к фиксации и точному отличению того единственного и первоначального основания, из которого шло изучаемое развитие.

Ясно также и то, что логарифмирование, поскольку это есть операция нахождения степени, имеет целью фиксировать в общем процессе органического развития не начало этого развития (как извлечение корня) и не конец этого развития (как при возведении в степень), но то, что происходит между началом и концом. Что же именно тут происходит? Происходит самый рост, процесс роста. Но его необходимо формулировать математически, т. е. перевести на формальный язык чисел. Но что такое органический рост, если его понимать чисто количественно, а не содержательно? Рост есть непрестанное самовоспроизведение. То, что это есть именно самовоспроизведение, это уже зафиксировано в предыдущих моментах нашего анализа роста, равно как и то, что это есть именно самовоспроизведение. Но что же тогда остается в росте? Остается только метод этого самовоспроизведения, закон самовоспроизведения. Ни «самость» и ни «воспроизводимость» не характерны для логарифмирования; вернее, эти категории характерны, для него в той же мере, как и для возведения в степень, и для извлечения корня. Для логарифмирования характерен именно закон развития, не органическое развитие как таковое, но его методический принцип. Этот принцип показывает, что именно должно случиться с организмом и до каких пределов мыслится его развитие. Но по основной и неизбежной формальности числового языка математика и этот закон может выразить только количественно, т. е. она может только указать, сколько раз произойдет самовоспроизведение первоначального организма. Это и будет т. н. показатель степени, а самая операция нахождения степени основания по данному основанию и данному конечному количеству развитого основания и будет логарифмированием. Следовательно, если в основе возведения в степень лежит категория отождествления отдельных элементов в целое, а в основе извлечения корня—различение отдельных элементов на фоне целостного результата органического роста, то в основе логарифмирования лежит изучение движения этого развития и не столько самого движения, сколько устойчивого закона этого движения, т. е. движения, данного в аспекте твердой и покоящейся формы этого движения, — иными словами, в аспекте подвижного покоя органического развития.

d) Не забудем, однако, что природа числа противостоит природе вещи как чисто смысловая конструкция, что действие чисел, изучаемое здесь, есть действие чисто смысловое, смысловая энергия числа, что имеется здесь в виду смысловая картина органического развития, а не вещественный его коррелят, не механическая копия. И, давая определение рассмотренным действиям, тут в особенности не забудем ввести это обстоятельство в формулу.

4. а) Применим в целях большей компактности изложения вьппесформулированные (§ 115, п. 4) категориальный и структурный принципы рассматриваемых действий.

Мы знаем из общей теории числа (§ 27) о пяти основных внутриэйдетических категориях числа (бытие, самотождественное различие и подвижной покой). Последние две мы уже исчерпали для конструирования первых четырех арифметических действий. Остается «бытие». Это бытие, как мы знаем из той же общей теории числа, есть то, чем число является, «что» числа, его смысл, его индивидуально–смысловое содержание, его, если угодно, эйдос. Оно противостоит инобытию, и, когда оно в этом последнем воплощается, оно становится субстанцией. В сложении числа брались только в своем смысловом (внещне–инобытийном) содержании. В умножении числа берутся так, что одно воспроизводится на другом по своему факту, берется инобытийно по своему факту (откуда и внутреннее объединение с этим инобытием). В возведении в степень, наконец, одно число воспроизводится в другом и по своему факту, и по своему смыслу—короче говоря, по своей субстанции (так что возникает синтетическое внутренно–внешнее воспроизведение). Поэтому мы и формулировали в § 115 п. 4 категориальный принцип рассматриваемых действий как взаимоотношение становлений, переходящих друг в друга в порядке субстанциального самоотождествления.

Бытие этого субстанциального самоотождествления есть соответствующий рост числа согласно показателю его степени. Инобытие приносит с собою новое число (самую степень), в котором мы, согласно становлению, сосчитываем полученные единицы, а согласно со ставшим получаем самую степень. Выразительно–эманативная энергия соответствующих действий фиксируется в знаках показателя, радикала (у/~) и логарифма (log).

b) Но прежде чем дать формулы и применить то, что в предыдущем пункте этого параграфа мы сказали раздельно о трех изучаемых действиях, мы должны учесть то, что «бытие», о котором мы здесь говорим как о последней из пяти внутри–эйдетических категорий, может быть рассматриваемо и само по себе, и в совокупности как с самотождественным различием, так и с подвижным покоем. Это и дает возможность ясно представить себе диалектическое содержание трех рассматриваемых действий.

Возведение в степень есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального отождествления.

Извлечение корня есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального различения.

Логарифмирование (поскольку о нем может идти речь в арифметике) есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке самотождественного различия и образующих ц результате подвижной покой.