b) Вспомним структуру детерминанта. Это есть «алгебраическая» сумма всевозможных Произведений данного числа элементов. Значит, ряд матриц должны 1) соединиться в одну общую неделимую совокупность и 2) каждая матрица этой совокупности должна быть одним из тех всевозможных произведений, которые допускаются данными элементами. Но что значит «всевозможные произведения»? Мы знаем, что эта «всевозможность» есть не что иное, как совокупность всех перестановок сомножителей. Следовательно, матрицы, входящие в нашу общую совокупность матриц, должны отличаться одна от другой так, как отличаются одна от другой перестановки некоторого данного числа элементов. Но эти перестановки играли в детерминанте ту роль, что они определяли собою те или иные произведения. Здесь же мы имеем дело не с детерминантами, а с матрицами. Значит, перестановки важны тут не в качестве непосредственно значащих произведений, но в аспекте ставшего, т. е. именно как перестановки. Мы берем все перестановки из данного числа элементов—и получаем ряд числовых комплексов, не прибегая ни к суммированию, ни к умножению, ни вообще к какимнибудь непосредственно значащим количественным операциям. Также и всю совокупность матриц мы берем не как их сумму, но просто как некую комплексную совокупность, т. е. в чисто матричном же смысле.

Итак, получается совокупность матриц, каждая из которых есть одна из перестановок данного числа элементов, а все они суть все возможные перестановки этих элементов. Здесь внутренняя детерминантовая значимость матрицы вышла наружу и, определивши собою совокупность матриц как целое, стала в отношении к ним внешним принципом. Так рождается новая категория арифметики—группа, прообразом и неизменным образцом которой является эта только что выведенная совокупность всех перестановок данного числа элементов, взятая как целое и представимая матричио. Здесь внутреннее числовое содержание матрицы как наличного бытия стало внешним законом ее взаимоотношений с другими матрицами, законом композиции матриц, а внешняя объединенность и внеположность элементов матрицы превратилась во внутренне самообоснованный ряд комплексов, когда каждый из них не цепенеет на месте как всякая матрица, но энергийно тянет [ся] ко всякому другому комплексу общей совокупности и ко всем им эместе.

c) Таким образом, группа, эта наиболее общая выраженная форма арифметического числа, коренится еще в детерминанте, где она, однако, еще связана непосредственной значимостью единичного числа и не развита в совокупность свободно эманирующих элементов. Так оно и должно быть, потому что если наличное бытие есть осуществление смысла, а всякое осуществление предполагает объединение с инобытием, выражение же есть всегда прежде всего некое такое объединение, то нечто выразительное должно крыться уже в наличном бытии, в ставшем. Но конечно, поскольку здесь инобытие привлечено только лишь как голый принцип и не дана его реальная структура, постольку ставшее есть лишь самое начало выражения, его перво–принцип. Когда же инобытие получает свою свободу, т., е. когда из принципа превратится в становление, тогда и воплощенный на нем смысл станет выразительным по своей структуре. Вот почему детерминант—перво–принцип числовой выразительности, еще запрятанный в глубине ставшей сущности числа, а группа—выразительное арифметическое число, развернутое в своей структуре.

d) Можно сказать еще и так—эта дедукция будет, пожалуй, яснее. В детерминанте самое главное—это непосредственно значащее число, вычисляемое из определенной комбинации других чисел (как сумма их всевозможных произведений). В матрице эти числа застывают в своей самостоятельности и уже больше не растворяются в общей числовой значимости детерминанта. В группе внутреннее содержание детерминанта выходит наружу, т. е. вся та сумма всевозможных произведений элементов, которая в детерминанте только предполагалась, но не была положена, теперь полагается, т. е. затвердевает так же, как элементы детерминанта затвердели в матрице. Теперь затвердевают уже не самые элементы, а те методы их комбинирования, которые приводили к числу как непосредственной значимости детерминанта, т. е. получается сумма всевозможных произведений, но уже не как сумма, а как комплекс и—не как произведений, но как комплексов, — ряд рядов. Тут, очевидно, по методу ставшего, т. е. внешне, матрично, явлено внутреннее содержание детерминанта. Остается, стало быть, чтобы это внутренновнешнее бытие получило развитие и перешло в смысловое становление. Для этого необходимо, что [бы] полученные комплексы закономерно один в другой переходили—путем той или иной операции. Это значит, что наши комплексы должны быть так подобраны, чтобы они были одновременно и комплексами элементов, тождественными с теми, из которых составлялись в детерминанте произведения, и такими комплексами, которые возникают один из другого путем однообразной операции. Последняя и есть композиция.

3. а) Итак, мы получили понятие группы и понятие композиции. Ipynna имеет в качестве закона своей структуры композицию. Спрашивается: о каких же композициях может идти речь в математике? Композиция есть закон объединения двух или нескольких чисел, вступающих в общую совокупность, именуемую нами как выразительное арифметическое число. Но ведь законы объединения чисел уже подробно обследованы нами в своем месте; это есть не что иное, как самые Обыкновенные арифметические действия. Кроме того, и диалектика может говорить только о том же самом. Поскольку внешнее тут не может быть только голым придатком, оно должно развиться в становление. Но становящееся инобытие, по–предыдущему, есть именно арифметическое действие (разнонаправленный счет). Следовательно, перебирая все известные арифметические действия, мы и получим разные виды композиции. Ведь детерминант, будучи освобожден от непосредственно–количественной значимости, рассыпался на ряд произведений, как и эти последние, освобожденные от того же самого, рассыпались на ряд дискретных друг в отношении друга чисел. Правда, выйдя изнутри наружу, детерминант вовсе не уничтожился, но, как было показано выше, наоборот, определил собою эту внешность. Но если бы только он определял эту внешность, то эта внешность так и осталась бы не выразительной, а перво–принципом выражения, каковым являлся и сам детерминант. Внешность должна вовлечь этот перво–принцип в свою стихию и превратить его в становление; только тогда внутренно–внешнее становление, понимаемое как особым образом сконструированный смысл, окажется настоящим выражением. Поэтому, хотя детерминантово–матрйчная основа и остается в группе и при желании она всегда Может быть выдвинута на первый план (как это делается, напр., в линейно–матричных представлениях групп), все же группа обладает, сверх того, еще и своим собственным законом композиции т. е. эти же самые элементы группы, освобожденные от непосредственно–числовой значимости детерминанта, оказываются связанными между собою еще особыми арифметическими действиями. Детерминантово–матричная структура группы залегает внутри группы, перекрываясь сверху еще особым композиционным слоем. Вернее же сказать, поскольку детерминантово–матричная структура должна быть сразу и внутренней, и внешней, одна и та же структура группы является и внутренновнешней детерминантово–матричной, и становящейся внутренно–внешней композиционной. Группа есть ряд матриц (следовательно, она таит в себе и детерминантную структуру), но в то же время переход от одной из этих матриц к другой совершается по особому композиционному закону (поэтому детермйнантовость тождественна здесь с композицией). Так ставшее, детерминантово–матрично наружу и композиционно распространяясь вовне, становится выразительной формой группы.

b) Войдем ближе в содержание понятия композиции. Сказано, что это есть попросту различные арифметические действия. Когда система наших числовых систем определена сложением и вычитанием, она называется модулем. Когда она определена умножением и делением, ее называют лучом или группой в узком смысле слова. Когда тут действуют сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце. И когда, наконец, [говорят] о всех первых четырех действиях арифметики, [то] говорят об «алгебраическом» поле или теле (допуская обычную противоречивость в термине «алгебраический»). Наконец, прочие арифметические действия представлены в том, что называется расширениями поля.

c) Термин «группа» употребляется в разных смыслах. Тут, как и везде в математике, целый ряд неясностей термина. Прежде всего, неизвестно, относится ли теория групп к арифметике, к алгебре или к анализу (о геометрии согласимся, что тут только применение теории групп, хотя также можно было бы говорить, что функциональные группы суть только применение арифметических). Затем, если взять обычную формулировку группы, то она дается настолько широко, что сюда войдут и модули, и кольца, и поля, так что неизвестно, что же, собственно, считать группой в настоящем смысле. Можно условиться понимать под группой совокупность, образованную по закону умножения и деления. Наконец, при различии композиционных принципов все эти выразительно–числовые совокупности настолько близко совпадают по своей формальной структуре, что можно было бы избежать многих терминов, сводя их к общевыразительной терминологии и избегая столь любимых математиками схоластических нагромождений и усложнений.

Так как понятие группы—наиболее общее и широкое во всей этой выразительной сфере, то остановимся больше на нем.

§ 124. Теория групп.

1. Остановимся сначала на математическом определении понятия группы. Обычно это определение расчленяют на несколько тезисов, которые мы и рассмотрим с нашей обычной диалектической точки зрения.

a) Говорят: существует такая операция (ее называют композицией» или символическим умножением), при помощи которой два элемента (Ai) и (Aj) системы могут быть однозначно связаны. Другими словами* два любых элемента системы определяют собою однозначно некоторый свой совокупный результат, который условно можно назвать «произведением»; элементы тут «перемножаются».

В таком обычном широчайшем понимании композиции не говорится ни о каком определенном арифметическом действии. Не говорится тут даже и вообще об арифметических действиях. Под композицией тут можно понимать любое арифметически–алгебраическое действие и любое их объединение; можно понижать и любые геометрические процессы (вращение, сдвиг, перенос, отображение и пр.). Словом, понимайте тут что хотите, но только под одним условием: результат композиции должен быть обязательно определен входящими в нее элементами системы.

Ясно, что композиция в этом смысле есть самое общее, что характеризует группу, самый ее источник и первоисток. Она в этом смысле вполне играет роль перво–принципа в определении понятия группы.

b) Далее говорится: результатом данной композиции элементов группы является опять элемент той же группы. Диалектический смысл этого момента в определении группы очень важен.