Интересны также группы вращений правильных многогранников, переходящих в самих себя. Таковы группы 12 вращений тетраэдра, 24 вращений октаэдра и куба, 60 вращений додекаэдра и икосаэдра.

В § 63 были указаны геометрические типы построений—аффинный, проективный и «метрический» (эквиформный). Мы можем понимать эти построения как типы преобразований и говорить, таким образом, о группах преобразований. Эквиформная группа, основанная на преобразованиях подобия, состоит из таких элементов, которые указывают на масштабы фигуры, но оставляют в полной неизменности их конфигурацию. Это и есть наша элементарная геометрия, изучающая лишь те свойства, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях подобия. Все эти преобразования составляют группу, эквиформную группу, если под композицией понимать последовательное проведение преобразований подобия. Исключим отсюда ортогональность, продолжая сохранять в наших преобразованиях параллельность. Мы получим аффинную группу преобразований. А отказываясь также еще и от параллелизма, получаем проективную группу преобразований.

Возьмем для примера прямоугольник. Сосредоточимся на его свойстве как именно прямоугольника, т. е. на равенстве диагоналей. Тогда все преобразования, оставляющие неизменным это равенство, образуют собою эквиформную группу. Но для этого равенства диагоналей необходимо, чтобы прямоугольник при всех своих преобразованиях сохранял свою конфигурацию, т. е. оставался подобным себе, т. е. чтобы углы его были соответственно равны, а стороны параллельны. Отвлечемся от равенства углов. Тогда наш прямоугольник будет рассматриваться как вообще параллелограмм, т. е. в нем мы будем фиксировать в качестве основного свойства уже не равенство диагоналей, а только их взаимное деление пополам. Все преобразования, оставляющие неизменным это свойство, суть аффинная группа. Наконец, забывая и о параллельности сторон, т. е. о параллелограммности, и начиная видеть в прямоугольнике только четырехугольник, иными словами, не равенство диагоналей и не их взаимное деление пополам, мы получаем проективную группу преобразований, если наши преобразования оставляют неизменным только этот простой факт.

d) Обозревая все эти примеры группы, мы выносим ряд поучительных иллюстраций. Мы видим, как разнообразна бывает композиция. Она допускает какое угодно взаимоотношение двух элементов, только бы оно было твердо фиксировано. Мы замечаем, как действует коммутативность и ассоциативность композиции. Коммутативность явно выполняется отнюдь не везде. Напр., понимая под композицией вычитание, а под группой натуральный ряд в первых примерах, мы отнюдь не можем считать, что 3—2 = 2 — 3. Если мы берем чистые вращения (напр., плоскости вокруг начала координат), то композицией является здесь складывание одного угла вращения с другим. Такая группа, очевидно, коммутативная. Но попробуем присоединить к вращениям также зеркальное отображение, т. е. при вращении плоскости ху вокруг начала еще имеется симметрия относительно оси у. В этом случае элементы могут и не коммутировать. Не коммутативна также группа ортогональных преобразований в трехмерном пространстве и пр. Наоборот, в подавляющем большинстве случаев налична ассоциативность^ композиции. Это обеспечивает нам то, что мы можем осуществляй нашу композицию на любых элементах. Не будь (φτ)υ=φ(τυ), это значило бы, что не каждый элемент может вступать в композицию с каждым элементом, сохраняя свою индивидуальную значимость. Впрочем, в упомянутом примере с композицией в виде вычитания мы имеем дело с неассоциативной группой, так как (2 —5) —2 #2 —(5—2).

Пусть фигура вращается, увеличивается в масштабе и зеркально отражается. Один и тот же результат получится и когда мы вращаем и увеличиваем, а потом зеркально отображаем, и когда сначала увеличиваем, а потом вращаем с зеркальным отражением. Наконец, везде было видно в предыдущих примерах, где там элемент–единица и где обратный элемент. Яснее всего это в геометрии. В группе вращений, напр., элементом–единицей является состояние покоя, а обратным элементом—вращение в обратную сторону. В группах преобразований уменьшению соответствует увеличение, а зеркальному отражению — новое зеркальное отражение и пр. В модуле, приведенном выше (п. 1а), единичным элементом является нуль, в примере же на функциональную группу—∫₀=x· Заметим, однако, что, в сущности говоря, и элементединица вопреки заявлениям математиков в конце концов необязателен. Его нет, напр., в той группе, которую образует собою натуральный ряд чисел 1, 2, 3, … и композицией для которой является сложение, так как не существует никакого числа ряда, которое бы в сложении с единицей оставалось бы самим собою. В то же время ряд 0, 1,2, 3,… имеет такой единичный элемент в этих условиях, и он равен 0.

Имея все это в виду, можно сказать, что в конце концов из всех моментов определения понятия группы только первые два остаются совершенно необходимыми—это однозначность композиции и принадлежность ее результата к общей совокупности.

3. а) Рассмотрим еще один пример группы—пример, который, однако, имеет для всей теории групп первостепенное значение, так что это даже не пример, а скорее общий метод представления всякой группы вообще. Это именно группа подстановок. Кстати, она теснее свяжет наше изложение с тем, что говорилось вначале относительно дедукции группы вообще.

Мы уже знаем, что такое перестановки. Чтобы получить одну перестановку из другой, надо произвести известную подстановку. Ясно, что всех возможных подстановок η чисел столько же, сколько возможно всех их перестановок. Из трех элементов, как известно, возможны шесть перестановок:

123 123 1 23 123 123

132 321 213 231 312.

Их мы можем понимать как подстановки[916] причем под каждым верхним числом подписываем то, которое подставляется вместо верхнего. Так, первая подстановка оставляет все число без изменения (т. н. тождественная подстановка); вторая переводит 1 в 1, 2 в 3, 3 в 2; третья цереводит 1 в 3, 2 в 2 и 3 в 1 и т. д. Нетрудно убедиться, что это есть именно группа подстановок, если под композицией понимать последовательное проведение подстановки. Так, «помножим» второй элемент группы на третий: вторая подстановка оставляет 1 без изменения, третья же переводит ее в 3; вторая переводит 2 в 3, третья же 3 в 1; наконец, вторая переводит 3 в 1, третья же 1 в 2; итак, получаем новую подстановку 3, 1, 2, а это есть не что иное, как шестая подстановка. Ассоциативность тут, безусловно, сохранена, но коммутативности не существует—это легко увидеть при соответствующих операциях. Единичным элементом тут является тождественная подстановка, а обратный сразу виден для любой подстановки. Итак, это группа.

b) Часто случается, что, изучая разные предметы, мы замечаем, как они при всей своей несхожести выражаются одной и той же группой, для которой существует, таким образом, только одна таблица Кэли. Такие группы называют изоморфными или, точнее, одноступенно–изоморфными. Другими словами, если элементы двух групп можно расположить так, что если AiAk = Al, то и BiBk=Bh то эти группы изоморфны. И вот в теории групп доказывается теорема: всякая отвлеченная группа изоморфна некоторой группе подстановок. Это сразу видно из таблицы Кэли, в которой каждая строка содержит как раз все элементы группы, а переход от одной строки к другой есть только перестановка этих элементов. Если так, то отсюда мы получаем некоторый универсальный метод исчерпывающего представления любой группы, который к тому же замечательно прост и удобен (хотя простота эта скорее теоретическая, а не практическая). Если мы вспомним вышеприведенный пример с вращением равностороннего треугольника, где этих вращений было именно шесть, то эту же самую группу мы можем представить как группу подстановок трех вершин треугольника А, В, С:

Так же можно представить и приводившуюся группу шести рациональных функций (представляющую, кстати сказать, группу значений ангармонического отношения[917] четырех точек на прямой при всевозможных их перестановках).