1. Общим отличием этой области аксиоматики является то, что мы ставим здесь ударение на самой непрерывности и что, следовательно, оно только отражает на себе те или иные категории едино–раздельности. Уже это одно устанавливает одну общую тему для всех возможных здесь суждений, а именно тему длительности, рас–ставленности, некоей процессуальное, которая устанавливается здесь взамен отвлеченно–числовой сферы едино–раздельности.

a) В арифметике мы здесь уже не можем оиерировать только с отдельными числами, так как мы их получили уже на предыдущей диалектической системе. Поскольку в сфере непрерывности речь идет об инобытии в отношении всего числа как такового, мы можем здесь говорить только о некоей сплошной, неразделимой процессуальное. Но поскольку эта неразличимость берется на данной стадии нашего исследования не сама по себе, а лишь в свете различимых установок аксиом едино–раздель–ности, то она теряет свою сплошность и заменяет ее разрывными моментами, в результате чего от непрерывности остается только последовательность. Непрерывность в свете едино–раздельности есть последовательность. Типы ее и должна установить аксиоматика, — конечно, только в отвлеченно–принципиальном виде как мерило и исходную точку зрения для ищущих конкретных анализов.

b) В арифметике мы имеем здесь дело, очевидно, с т. н. рядами, т. е. последовательностями, чисел, имеющими определенную структуру. Примитивным образцом этих рядов является арифметическая и геометрическая прогрессия, известная еще из элементарной алгебры. К этим рядам применима структура в зависимости от тех операций, которые мы установили выше. Если мы говорим, что в данном месте непрерывность нами рассматривается в свете едино–раздельности, то очевидно, что структура и должна определяться этой едино–раздель–ностью. А последняя свою наиболее зрелую форму получила у нас как раз в виде элементарно–математических операций. Так мы получаем ряд важнейших понятий высшей арифметики, которые мы рассмотрим в своем месте и для которых сейчас производим только общеаксиоматическую принципиальную установку, а именно: они все суть результат обработки аксиомы непрерывности с точки зрения аксиом едино–раздельности. Речь идет о группах целых чисел, определяемых теми или другими операциями. Если имеются в виду операции сложения и вычитания, говорят о модуле; если — умножение и деление, говорят о луче; если — сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце (по примеру Гильберта Кронекер говорил «область целости» <…>); если, наконец, применяются все четыре основные операции, употребляют термины «тело», «корпус», «поле» (англичане), «область», «область радикальности» «…) — Кронекер).

Можно себе представить также и числа на основе отсутствия принципа непрерывности. Их можно было бы назвать неархимедовыми числами по аналогии с геометрией, в которой отсутствует Архимедов принцип непрерывности и о которой мы упомянем ниже, в § 2е.

2. Немного подробнее, но все же не входя в специальный анализ, а лишь намечая аксиоматическую перспективу этого анализа, мы скажем и о геометрической области рассматриваемой модификации. Тут тоже принцип становления дает нам впервые возможность как осуществлять каждую категорию едино–раздельности изолированно от прочих, хотя между ними и непосредственная логическая связь, так и осуществлять их во всей их совокупности и цельности, принимая во внимание ориентацию сферы становления. Историческая геометрия выработала здесь следующие формы.

а) Прежде всего мы можем оставить неприкосновенной только группу аксиом подвижного покоя и игнорировать все прочие аксиомы. Что это будет значить в смысле оформления изучаемой сферы становления? Это будет значить, что в наших геометрических фигурах мы будем соблюдать только последовательность элементов, и притом — так как теперь речь идет о применении к непрерывности принципа этой изолированной категории — мы теперь (будем) соблюдать в геометрических фигурах только непрерывную последовательность их элементов. Поскольку аксиомы самотождественного различия тут не соблюдаются, мы уже не сможем здесь отличать, например, прямую от кривой. А поскольку здесь не соблюдаются и аксиомы определенности, постольку в такой геометрии мы и вообще будем отвлекаться от точного вида фигур. Кто знает о дисциплинах геометрии, тот не может не догадаться, что тут мы сталкиваемся с так называемой топологией, или [analysis situs].

Примером топологического учения является известная теорема Эйлера о многогранниках. Оказывается, независимо от вида сомкнутого многогранника сумма его граней и вершин на два больше числа его ребер. Из этой теоремы получается много очень важных выводов, например что во всяком многограннике должны находиться или треугольные грани, или трехгранные углы, что не может существовать многогранник, всеми гранями которого служат многоугольники[43] с числом сторон больше пяти; например <…>. Эта теорема, таким образом, относится к любому виду многогранника, лишь бы это был именно многогранник. Известны еще задача Кёнигсберг–ских мостов, игра с додекаэдром Гамильтона и пр. построения, которые являются <…>.

b) Далее можно присоединить к аксиомам подвижного покоя еще и аксиомы самотождественного различия. Мы, следовательно, оставляем инвариантной не только непрерывную последовательность фигуры, но и непрерывность, ненарушаемость ее вида, хотя все еще жертвуем аксиомами определенности, т. е. наша геометрическая фигура как бы вся целиком претерпевает разнообразные изменения. Так, когда мы видим предмет в перспективе, то сам по себе он нисколько не меняется ни по виду, ни в смысле порядка своих элементов, и тем не менее мы видим его в той или другой форме, несходной с видом, присущим ему как таковому. Этими свойствами фигур занимается проективная геометрия. Принцип вариации геометрических фигур понимается тут именно в моменте определенности бытия фигуры, но не в моменте вида или порядка элементов, из которых она состоит. Эти свойства фигур называют дескриптивными или проективными, противополагая их математическим свойствам фигуры, как это установили В. Фидлер и Ф. Блейн. Их можно назвать, если угодно, и «оптическими» свойствами фигур в отличие от топологических, которые удобно аналогизировать с мускульными ощущениями.

c) Наконец, мы можем строить геометрию, исходя из всех трех групп аксиом едино–раздельности, т. е. мы можем не только соблюдать порядок элементов, ограничиваясь свойствами, инвариантными к любым непрерывным преобразованиям, или соблюдать дескриптивный вид фигуры, ограничиваясь свойствами, инвариантными к группе коллинеаций, но мы можем потребовать, чтобы соблюдалась и категория определенности бытия, т. е. чтобы фигура бралась в неизменности всех своих свойств, чтобы на фигуру была бы уже раз навсегда установлена одна перспективная точка зрения, а именно та, которая не зависит от точки проекции и вполне адекватно фиксирует царящие в ней отношения. Такая «адеквация», однако, все же есть условность. Она предполагает ту или иную метрическую операцию, которая принимается за данную. Мы тем или другим способом измеряем линию или отрезок и в соответствии с этим строим свои фигуры. Непрерывность, рассмотренная с точки зрения принципа определенности, есть не что иное, как принцип измеримости. Однако мы еще не знаем, что такое непрерывность, и потому покамест тут мы еще не строим цельной геометрии, а только обсуждаем общую базу для будущих принципов метрики. Общая метрическая геометрия поэтому есть то, что возникает на основе всех трех аксиом едино–раздель–ности, рассмотренных совокупно с принципом непрерывности.

Однако в своем настоящем виде она может быть развита только на основе принципов конгруэнтности и параллельности, которые мы еще не вывели[44], и потому невозможно назвать метрикой получающуюся здесь геометрию в собственном смысле. Геометрия, возникающая на основе всех трех групп аксиом едино–раздель–ности, есть то, что называется синтетической геометрией. Это та геометрия, в которой равномерно и адекватно представлена логически целостная фигурность и которой недостает только метрического уточнения, чтобы стать обыкновенной элементарной геометрией.

Таким образом, под синтетической геометрией здесь у нас понимается не то, что назвал этим именем Шаль, выпустивший под таким названием свой знаменитый труд по проективной геометрии. Во времена Шаля эта геометрия полемически противополагалась аналитической геометрии, слишком увлекавшейся отвлечением от всякой наглядности. Аналитической геометрии противопоставляли геометрию, основанную на чисто дескриптивном методе и не зависимую ни от какого вычисления. Однако если рассуждать строго логически, то проективная геометрия вовсе не есть полная противоположность аналитической, так как последняя предполагает не только то абстрактное понимание фигуры, какое свойственно проективной геометрии, и основывается на допущении коллинеаций, но предполагает именно полную и конкретную фигурность, хотя и выражает ее уравнениями и функциями. Аналитическая геометрия есть противоположность синтетической, если последнюю понимать не как проективную, а именно в нашем смысле. Таким образом, если не геометрически, то логически наше понимание этого термина более основательно, хотя свое реальное значение эта синтетическая геометрия получает только с присоединением принципов конгруэнтности и параллельности. До этого присоединения она отличается от проективной только исключительно всей перспективой[45] точки зрения на фигуру и сосредоточением на последней как на таковой.

d) Необходимо заметить, что, в сущности, все три группы аксиом едино–раздельности действуют всегда и везде и речь может идти только о примате[46] той или другой группы. Ведь логическая связь, раз она однажды установлена, уже не может исчезнуть в абсолютном смысле. Она может только отступать, она может быть перекрыта и, стало быть, скрыта какими–нибудь внелогическими связями. Но так или иначе, латентно, она всегда как–то присутствует. И вот, можно сказать, что топология выдвигает на первый план аксиомы подвижного покоя, проективная геометрия—аксиомы самотождественного различия и синтетическая геометрия—аксиомы определенности — на общем фоне.

3. Прежде чем, однако, дать диалектические формулы вышевыведенным типам геометрического построения, мы внесем, во–первых, одно уточнение и, во–вторых, попробуем осознать относящийся сюда математический материал.

а) Яснее всего и проще всего положение топологии. Тут невозможно сказать, что исключается коллинеация, т. е. исключаются аксиомы самотождественного различия. Присоединяем теперь к категории подвижного покоя категорию самотождественного различия и оставляем неприсоединенной категорию определенности. Что в этих целях мы получим последовательность точек вместе с сохранением коллинеации, это тоже ясно. Но нельзя ли конкретнее описать значение отсутствия категории определенности? Это сделать можно и нужно, и тут–то и начинается подлинная работа диалектики математической науки.