И вот если мы имеем две такие параллельные прямые, а они оказываются при своем продолжении непараллельными, то это значит только то, что данная деформация есть деформация не прямых как прямых, но именно того пространства, в котором они существуют. Если при одинаковой, в принципе, ориентированности прямых они при своем продолжении в пространстве вдруг меняют свою ориентацию, то это значит, что само пространство как–то их деформирует; и по их новому виду мы, следовательно, получаем возможность вполне точно судить о самом пространстве. И особенности этого последнего, выводимые из нового вида фигур, уже не зависят от самих фигур, уж [е ] деформируют в определенном смысле вообще всякие фигуры.

Но если так, то тут мы тоже получаем один из великолепных примеров того, что диалектика называет выражением. Ибо выражение «чего–нибудь» — это как раз и есть смысловая вмещенность этим «чем–нибудь» его внешнего инобытия без реального перехода в это инобытие. Мы видим фигуру, деформированную по сравнению с отвлеченной геометрической фигурой, и по характеру этой деформации судим о том чистом, нефигурном пространстве, которое и обусловило собою эти деформации.

с) Что же оказывается? Оказывается, существует пространство, в котором не только возможна одна параллельная к данной прямой через данную точку, но и такое, в котором этих параллельных может быть сколько угодно, и такое, в котором их не может быть ни одной. В чем же дело?

Какой философский смысл возможности только одной параллельной к данной прямой в данной точке? Из предыдущего вытекает само собой, что если возможна реально только одна параллельная к данной, то это равносильно возможности только одинаковой ориентации прямой относительно прочего пространства. А так как прямая у нас с самого начала берется в чистом виде и без всяких примесей, то, значит, эта одинаковость есть всецело результат самого же прочего пространства, т.е. это пространство как таковое везде одинаково, или, как говорят еще, кривизна его равна нулю. Если к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная, то пространство, в котором все это происходит, есть голое и ровное становление, абсолютно однородное, каким и полагается быть становлению, если оно берется в чистом виде. Рассматривая пространство как выражение, а в выражении основное — это внутренно–внешнее становление, то сначала мы имеем просто становление как таковое, не внося в него решительно никаких диффе–ренций. Это и значит, что к данной прямой через данную точку можно провести только одну параллельную. Это — эвклидовское, параболическое пространство.

Но единице противостоит бесконечность. Что значит, что к данной прямой через данную точку можно провести бесчисленное количество не встречающихся с ней прямых? Это возможно только тогда, когда условия самого пространства обеспечивают проводимой линии ее непересекаемость с данной. Само пространство по своему качеству должно быть таково, чтобы при бесконечном продолжении линии оно толкало ее в сторону от данной прямой и постоянно мешало их встрече. Пространство здесь устроено так, что оно все время как бы расходится в разные стороны. Оно так же бесконечно, как и предыдущее, эвклидовское пространство, но оно в сущности еще более бесконечно, если можно так выразиться, поскольку оно обеспечивает не только уход проводимой линии в бесконечность, но обеспечивает и возвращение ее опять в конечную область. Ведь поэтому–то мы и узнаем о невстрече проводимой линии с данной, что по обе стороны данной точки они не встречаются с нею, как бы мы их ни продолжали.

Следовательно, в этом пространстве мы уже оперируем не с чистым и пустым становлением, но [с] таким, которое вернулось из бесконечности[74] и в котором мы знаем начало и знаем конец, хотя его «середина» и в бесконечности. Это т. н. гиперболическое пространство, или пространство Лобачевского, пространство отрицательной кривизны. Наконец, пространство, в котором невозможна ни одна параллельная к данной прямой через данную точку, устроено так, что оно заставляет все решительно прямые пересекаться уже на конечном расстоянии. Оно насильно гонит каждый две «параллельные» к соприкосновению, так что тут и не может быть никаких параллельных. Тут все линии замкнуты, и пространство обязательно конечно. Это пространство — положительной кривизны, т. н. эллиптическое, сформулированное Риманом.

3. а) Так вот в чем смысл этой старинной проблемы параллельности и всей судьбы знаменитого V постулата Эвклида. Это есть смысл выражения пространства в отличие от чистой фигурности как таковой, которая никак не выражена, а только отвлеченно мыслится. Аксиома параллельности с ее модификациями есть аксиома выражения в геометрии. Закрепим ее в формуле.

Аксиома выражения в геометрии: геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений своего становления.

Эта формула непонятна только тем, кто не читал или не продумывал предыдущего изложения. Если фигура обсуждается не сама в себе, но в связи с тем пространством, где она осуществлена (в условии положенности его как самостоятельной категории), то это и значит, что построение одинаково принимает здесь во внимание и особенности фигуры как чистой фигуры вне всякого пространства, и особенности пространства как чистого пространства вне всякой фигурности. Это есть тождество внутренно–внешних направлений становления фигуры. Пусть данный угол деформируется в связи с продолжением сторон, из которых он состоит. Это значит, что по данной деформации мы сразу узнаем и о том, что за фигура имеется в виду и что за пространство ее воплощает.

b) Но выше были указаны и модификации этой общей геометрической выразительности. Они определяются тем, в каком виде входит в выражение необходимое для него внешнее становление. Если фигура как таковая бесповоротно утверждена предыдущими аксиомами, то ее выражение есть перекрытие ее новым слоем самостоятельно существующего пространства, и вот оно–то и может входить в разных видах. В геометрии Эвклида, как мы видели, пространство есть чистое и беспримесное становление, лишенное всякой кривизны. Тут кривизна всегда есть кривизна самих фигур, но не чистого бесформенного пространства. В пространстве Лобачевского оно есть не просто становление, но оно само перешло в становление. Это становление становления, давшее нам возможность обозреть становление (в то время как в пространстве Эвклида мы находим только неопределенную длительность). Однако это становление все же остается становлением самого же становления, что и дает возможность, обозревать нам его начала и концы, но не дает возможности обозревать его целиком. Для этого последнего надо, чтобы круговорот становления возвратился к себе так, чтобы мы видели его перед собою полностью. Надо, чтобы становление не только вернулось назад из неопределенной бесконечности, но чтобы отныне весь этот круговорот становления уже не уходил больше в бесконечность и оставался на наших глазах. Таково именно пространство Римана.

Отсюда и специальные аксиомы геометрической выразительности.

Аксиома геометрии Эвклида. Геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений самого становления, когда это внешнее становление дано в чистом и беспримесном виде.

Аксиома геометрии Лобачевского. То же — когда это внешнее становление перешло в свое собственное становление.

Аксиома геометрии Римана. То же — когда это внешнее становление, возвращаясь к себе, совершает свой круговорот в конечной области.