В смысле диалектики выразительного пространства гиперболическое пространство обладает всеми чертами ставшего, если под становлением, или инобытием, понимать параболическое, а под бытием—сферическое. Оно есть факт, наличное бытие бесконечности. Факт не есть сам смысл, но он несет на себе смысл; и этот смысл — мнимый. Сам по себе смысл не есть ни что–нибудь вещественное, ни что–нибудь мнимое, так как эти моменты возникают лишь при переходе чистого смысла в его инобытие. Однако если смысл перешел в инобытие, оброс телом и стал фактом, то прежний чистый смысл оказался мнимым смыслом. Пока не было факта, не было и мнимости. Но раз возник факт, возникла и мнимость. Однако тут залегает диалектическое противоречие. Факт есть субстанция, действительность, вещественность, а его смысл есть только мнимость. Факт сам по себе слеп, а зрячий смысл — невещественный и мнимый. Это противоречие должно быть снято, а оно снимается, как только мы перестанем отличать вообще обе эти сферы. Оно снимается, как мы знаем, в выражении. Следовательно, в этой общей области выразительного пространства мы должны конструировать пространство, которое было бы по преимуществу выразительным, было бы выражением выражения пространства.

Но снять различие слепого факта и мнимого смысла в нашем случае — значит лишить гиперболическое пространство его слепой бесконечности и превратить его мнимые коэффициенты в вещественные. Но тут мы сталкиваемся с эллиптическим пространством Римана. Тут воспоминание стало реальностью; и точка, забывшая себя в бесконечном инобытии, вновь обрела себя и встретилась с собою, но уже не мнимо, а действительно. В эллиптическом пространстве нет того абсолютного <…>, которое мы находили в пространстве сферическом. Тут остается явный след его возврата к себе из инобытия в том, что пространство это двойное, что оно содержит в себе симметричное удвоение в сравнении с пространством сферическим. Но зато эллиптическая плоскость односторонняя т. е. она вообще не ориентирована в пространстве; она не нуждается ни в каком инобытии для своего существования, так как всякое возможное инобытие она уже вместила в себя, пройдя всю его бесконечность насквозь.

Теперь мы можем непосредственно связать геометрию выразительного пространства с теми видами геометрии, которые мы получили раньше в до–выразительной области (§ [55]). Там, после того как были выведены самые категории фигур (§ [63]), мы имели разные типы фигурного пространства в связи с модификациями становления. Самой общей геометрией была топология, потом шли проективная, аффинная и общеметрическая. Теперь мы можем расшифровать эту последнюю. Мы помним, что в диалектической эволюции типов пространства играли основную роль бесконечно удаленные и мнимые элементы. Чтобы от проективного пространства перейти к аффинному, необходимо ввести бесконечно удаленную плоскость (или поверхность), а для перехода от аффинного к метрическому надо было ввести мнимый сферический круг. Поскольку выразительная сфера есть не что иное, как модификация до–выразительной отвлеченной идеальности, постольку теперь для дальнейшего выведения типов пространства мы должны только модифицировать употребление введенного (как говорят) абсолюта (т. е. бесконечно удаленных и мнимых элементов).

А именно, когда абсолют мыслится мнимым, мы получаем, очевидно, пространство Римана: если последнее есть непосредственно обозримый символ как выразительное тождество идеального и реального, то все остальное, т. е. всякая возможная бесконечность, для него просто не существует, так как оно уже включено. Это значит, что абсолютная поверхность здесь мнимая. У Лобачевского, наоборот, этот абсолют вещественный. Абсолютная поверхность здесь—действительная нелинейная поверхность второго порядка, причем для метрики имеют значение только ее внутренние точки. Так оно и должно быть по предыдущему. Раз идея ушла здесь в бесконечность и в ней забыла себя, го вещественной будет теперь сама эта бесконечность, а мнимой станет, наоборот, прежняя конечная встреча. Наконец, у Эвклида мы тоже имеем вещественный абсолют, но он не может тут оставаться в том полном и развитом виде, как у Лобачевского. Именно, абсолютная поверхность вырождается здесь в мнимое коническое сечение, плоскость которого играет роль т. н. конечно–удаленной плоскости; абсолютное же коническое сечение вырождается в мнимую пару точек, причем имеются в виду только те точки, которые не находятся на вещественной прямой, соединяющей абсолютную пару точек, сама же эта прямая и есть то, что обычно называется бесконечно удаленной прямой. Такое вырождение абсолюта вполне понятно: ведь эвклидов–ское пространство есть бесконечность только потенциальная; оно не положено здесь как самостоятельно–субстанциальная бесконечность; и в этом смысле оно есть мнимость, хотя фактически бесконечность здесь все же налична (раз возможно бесконечное деление). Потому и говорится о выродившемся абсолюте.

Следовательно, три основные метрические геометрии— Римана, Лобачевского и Эвклида—есть не больше как та или иная модификация проективной геометрии, вполне закономерно возникающая из определенного функционирования геометрического абсолюта.

На точках пространства, может быть, яснее, чем на других математических образах, демонстрируется диалектическая сущность числового выражения вообще. Кривые второго порядка, явившись пра–символом соответствующей структуры пространства, суть наилучшие образы выразительной силы числа вообще. Сферически мы пребываем в ровном и блаженном самодовлении, не нуждаясь ни в каком инобытии, в спокойном обладании бесконечность [ю ]; параболически мы устремляемся в неведомую мглу бесконечности и теряем память о себе и, значит, о всем ином; гиперболически мы строим великую крепость из материалов самой инобытийной бесконечности, что и приводит нас к воспоминанию об утерянной власти над бесконечностью, хотя оно тут пока еще бессильно, а власть эта только еще зрится здесь, но не осуществляется; и, наконец, эллиптически мы вновь завоевываем потерянную бесконечность, и она отныне равномерно плещет перед нами в твердых и обозримо–конечных берегах.

§ 72. Аксиома выражения в теории множеств.

1. После дедукции выразительной измеримости в геометрии нет нужды доказывать, что выразительная измеримость должна быть присуща и множеству. Метризация множеств, однако, во многих отношениях гораздо гибче и тоньше, так как пространственный материал геометрии все еще достаточно тяжел и неповоротлив. Мы не станем здесь излагать подробное исследование по метризации множеств, хотя это является весьма тонкой и увлекательной темой. Я здесь ограничусь только ссылкой на литературу[85]. Дальнейшее же будет посвящено, так сказать, эвклидовским построениям в области теории множеств.

2. а) Выше (§ 70) было указано, что для характеристики сферы числового выражения имеет завершающее значение выразительная проработка всей числовой сферы как таковой, минуя всякие различия внутри нее самой. Там же было указано, что такая точка зрения удобнее всего может быть проведена сразу в отношении арифметического числа и множества. К этому и необходимо перейти сейчас. Разумеется, и для прочих математических наук это должно иметь основоположное значение. В отношении геометрии, например, мы уже столкнулись с различением конечных и бесконечных элементов (§ [71 ]); это различение было уже использовано нами, хотя самые эти категории только теперь должны стать непосредственным предметом философской рефлексии. Типы бесконечности, рассмотренные в § 71, также суть внутренно анализируемые структуры, но и там не ставился вопрос о самой категории конечного и бесконечного. Наконец, в предыдущем мы, конечно, и вообще много раз оперировали этими понятиями без всякого их анализа, поскольку они еще не были полагаемы как таковые. Вся сфера становления, например, связана с проблемой конечного и бесконечного. Но и она еще пока не требовала непосредственного анализа этой проблемы. Вот к этой последней и надлежит нам теперь перейти.

b) Итак, нами получено число во всем своем логическом завершении. Его едино–раздельная упорядоченная определенность дала нам возможность оперировать с ним как с абсолютно усточивой структурой, а его становление привело нас к разнообразным числовым операциям, точные законы которых также получили для нас необходимое диалектическое обоснование. Теперь мы забываем все внутренние различия числа, обозначая их одним и по возможности наиболее широким термином. Это для нас просто определенность числа как такового, или, иначе, выразительно–числовая определенность. Спросим себя: куда же пойдет число дальше? Ведь дальше уже начинается вне–числовая сфера, т. е. сфера даже вообще не количества, а, например, качества или какой–нибудь другой категории, смотря по выбору той или иной диалектической системы. Но мы не можем переходить в эту вне–числовую сферу, не покидая исследуемой нами математической области вообще. Как же в таком случае мы могли бы в целях еще большей конкретизации понятия числа и множества привлечь и это вне–числовое бытие?

c) Способ такого привлечения нам хорошо известен. Это способ выразительных форм. Выражение как раз дает возможность смотреть на вещь извне и таким образом учитывать ее внешний антураж, но в то же время оно отнесено только к самой же вещи и ни к чему другому. Итак, на числе и множестве должно почить вне–числовое качество. Но какое же именно это качество? Поскольку число есть внутренне равнодушная сама к себе определенность, исключающая всякое вне–12 А. Ф. Лосев.

числовое качество, постольку необходимо думать, что никакая специфическая качественность здесь неприменима. Но тогда это значит, что к числу применима качественность вообще, качество как отвлеченная категория, другими словами, потенция качеств, принципиальная возможность получить то или иное вне–числовое существование. Иначе говоря, число, или множество, заново осуществляется, но осуществляется во вне–числовой среде. А это и оказывается источником ряда дальнейших весьма важных и даже основоположных математических категорий.

3. а) Рассмотрим способы этого осуществления, или полагания, числа во вне–числовой среде. До сих пор мы находили в числе только специфическую определенность, которую мы выше назвали выразительно–числовой определенностью. Что теперь будет с нею делаться, если мы ее заново станем полагать, но полагать уже во вне–числовой среде, так как всякая иная среда уже нами использована для конструирования самого числа?

Полагаем числовую определенность в чистом виде. Мы ничего к ней не прибавляем и ничего от нее не отнимаем. Мы просто полагаем ее как таковую во вне–числовом инобытии и—смотрим, что из этого получается. Получается то, что называется конечным числом и конечным множеством. В самом деле, что нужно для наличия конечного числа? Если оно конечно, оно имеет конец, т. е. свою определенную границу. А если оно имеет границу, оно, во–первых, твердо сопротивляется всякому уходу за эту границу, так что всякий уход за эту границу есть уже нарушение самого принципа конечности. А во–вторых, наличие границы неуклонно ведет к возможности дробления внутри того, что обладает этой границей, ибо ограничить — это диалектически и значит превратить в дробимое. Другими словами, конечность есть не что иное, как вне–числовая определенность, но только определенность, взятая в чистом виде, т. е. в своем бытии, в своем принципе. Это есть просто едино–раздельность, но не та идеальная, при помощи которой впервые только еще производилось отличие одной единицы от другой в пределах данного числа, но та едино–раздельность, которая перешла во вне–числовую данность, где она и осуществилась как таковая, т. е. осуществилась в своем принципе, так что число «три» или «четыре» отныне для нас оказывается не просто результатом различения и отождествления в определенном порядке следуемых единиц, т. е. не просто результатом счета, но результатом фиксирования данного числа извне, результатом того, что это число твердо положено вне себя и что ему дальше некуда двигаться (так как все дальнейшее есть уже вообще не число, но — вне–числовая область). Все числа, обладающие таким свойством, являются уже не просто едино–раздельными, но и конечными.