d) Таким образом, мы приходим к теории, которая сразу является и корпускулярной, и волновой, — другими словами, теорией сразу и прерывности, и непрерывности. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль применил эту двойную точку зрения к самой материи (т. е. к электронам и протонам), которая с тех пор тоже рассматривается теперь как корпускулярно–волновая структура. Эта структура не сразу была формулирована как вполне оригинальная. Еще де Бройль думал свести «частицы» к «волнам» в том смысле, что каждая отдельная частица трактовалась как резкий[102] максимум амплитуды той или иной волновой системы. Однако оказалось, что эти «волновые пакеты» (как их назвал Шредингер) совершенно не объясняют индивидуальных[103] электронов в явлениях дифракции и интерференции, хотя скорость частиц и совпадает с групповой скоростью и со скоростью волновых пакетов. Как раньше ньютоновская корпускулярная теория не смогла объяснить[104] явлений дифракции и интерференции, так и теперь пришлось отказаться от прямолинейного движения частиц по природе и признать, что движение это зависит от системы волн, сопровождающих эти частицы. Значит, необходимым оказывается и существование «волн», и существование «частиц», одно никак несводимо на другое. Но тогда как можно было бы приблизиться к пониманию и к охвату этого параллелизма или дуализма?

Тут–то мы и встречаемся с новым пониманием вероятности.

3. В самые последние годы господствует такая схема в волновой механике. Интенсивность света определяется числом частиц. Чем более интенсивны волны, тем оказывается большее количество частиц, и, чем они слабее, тем частиц меньше. Пусть мы имеем отдельный электрон. Ясно, что, чем интенсивнее волна, тем более вероятность появления электрона в данном месте. Вероятность эта, очевидно, пропорциональна интенсивности волны в данной точке. Имея упомянутую выше непрерывную волновую функцию \|/2, нетрудно определить среднее, или вероятное, число частиц в данном объеме, — стоит только взять произведение этой функции на объем, ψο Δυ. Это произведение есть не что иное, как мера вероятности нахождения одной из частиц в элементе объема Δυ, а ψ о есть мера плотности вероятности для нахождения частицы в данной точке пространства. Это толкование взаимоотношения волн и частиц как соотношения вероятности было введено Борном. И такое представление вполне удовлетворительно связывает волновую и корпускулярную точки зрения, остающиеся при всяком ином подходе очень трудно соединимыми.

Здесь удобнее всего видеть все различие новой волновой механики от старой классической. Когда требовалось определить положение частицы в старой механике, брали некое начальное положение частицы и ее скорость в этот момент, а затем интегрировали ньютоновские уравнения движения и получали нужные координаты положения (как функции времени). В новой же волновой механике мы находим не точное положение частицы, а только вероятность того, что она будет иметь это положение в данный момент времени. А так как вероятность эта измеряется квадратом амплитуды волн, связанных с частицей, то мы тут находим, в сущности, только закон распространения этих волн, или волновую функцию ψ, в зависимости от трех пространственных координат и еще от времени.

Такое положение дела еще более заостряется, если мы примем во внимание т. н. соотношение неопределенности, формулированное Гейзенбергом. Пусть мы точно определили скорость частицы. Если так, то ведь сделать это могли только при помощи установления системы плоских гармонических волн с одной и той же амплитудой во всем пространстве. Но это значит только то, что положение нашей частицы оказалось совершенно неопределенным. Пусть мы точно зафиксировали положение частицы. Это можно сделать только путем сведения протяжения волнового пакета к нулю. А это значит, что скорость нашей частицы оказалась совершенно неопределенной, так как при этом условии одинаково вероятны все значения и направления скорости. Чем точнее определяется скорость, тем расплывчатее оказывается положение; и, чем точнее положение частицы, тем неопределеннее оказывается ее скорость.

Это соотношение нельзя толковать как печальную необходимость наблюдателя ограничиваться слишком несовершенными способами при измерении столь малых расстояний. Тут нет ни малейшего субъективизма. Тут — объективная картина той неопределенности, которая царит на изучаемом участке реального бытия. И это, собственно говоря, есть не столько неопределенность, сколько отсутствие детерминизма и механи[ци]зма. Ньютоновская механика предполагает механистический детерминизм бытия. Здесь абсолютно точно вычисляется наперед и положение частицы в зависимости от скорости и пройденного пути, и скорость в зависимости от достигнутого положения. Волновая механика в этом смысле индетерминистична: она оставляет «свободу» самоопределения частицам, откуда и вытекает столь большое значение идеи вероятности, связующей частицы и волны в одну цельную картину. Раньше думали, что электрон — это определенный индивидуальный электрический заряд, т. е. прерывистый заряд, связанный с той или иной орбитой. Теперь же оказалось, что электроны представляют собою непрерывное распределение заряда с плотностью, пропорциональной интенсивности волн (вышеуказанной величине \|/2). Атом как бы размазан, расплывается по «пространству», причем само это «пространство», по–видимому, надо считать впервые только еще образующимся, а не существующим заранее наподобие абсолютной однородности эвклидовского пространства. В сложных атомах эти волны образуют многомерное пространство. Но это последнее тут вовсе не фикция, раз оно определенным образом характеризует процессы трехмерного пространства.

4. Разумеется, набросанные только что мысли о «не–эвклидовской» вероятности нисколько не могут претендовать на обстоятельность и полную ясность, так как это относится к специальной науке, теоретической физике, которая как раз теперь переживает небывалый кризис, требующий разъяснения самых первичных основ знания[105]. Но вышенабросанные мысли претендуют на то, чтобы дать аксиоматическую установку на определенный участок математической мысли; и такая необычная вещь, как соединение идеи вероятности с разнородным пространством, осталась бы слишком отвлеченной, если бы мы не указали соответственного физического аналога. С этой точки зрения уже имела бы значение простая ссылка на волновую механику, а не только попытка кратко формулировать относящийся сюда феномен.

Сообщение идеи вероятности с разными типами пространства имеет для нас исключительно важное значение еще и потому, что вероятность, относясь к бытию модальному, есть бытие максимально конкретное. Его мы выше (§ 9) характеризовали как бытие историческое, ибо в нем учитывается его самопроизвольность, которой совершенно нет в других типах числового бытия. Но с другой стороны, если брать геометрию, то ни топология, ни проективная геометрия, ни аффинная не есть полнота определений пространства. Только метрическое пространство дает наглядную физиономию пространственной фигуры; но метрика эта бывает разная, и эвклидовская метрика — наиболее бедная и бессодержательная. Вот почему идея вероятности в соединении с неэвклидовскими математическими точками зрения есть максимально конкретная позиция в математике вообще; и открывающееся здесь выразительное бытие числа обладает и наивысшей свободой самоопределения, и самыми богатыми физиономическими возможностями.

Тут—естественный конец аксиоматики.

f) ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ § 74. Итог аксиоматики.

1. Мы проделали большую работу. Обозреть всю диалектическую судьбу числа как суждения—это значит построить огромную диалектическую систему; и кому хоть что–нибудь неясно в этой системе, тот должен затратить всякие усилия для достижения ясности, ибо, кто не обладает последней ясностью в диалектике аксиом, тот не сумеет разобраться ни в чем последующем. Правда, ясность мысли и ясность слова — совершенно разные вещи, и они часто не совпадают. Автор настоящего исследования имеет такие диалектические мысли, которые кажутся ему предельно ясными, но он не может этого сказать решительно о всяком своем слове, так как воплощение сложных диалектических построений в словах всегда означает напряженнейшую борьбу с человеческим языком, который упорно и даже отчаянно сопротивляется, когда его заставляют выражать что–нибудь отвлеченное. Поэтому надо еще раз обозреть всю нашу диалектическую аксиоматику, минуя детали, но лишь соблюдая единство картины, чтобы добиться и в словах той абсолютной ясности, которая присуща прочно продуманной мысли.

2. Аксиоматика (и вообще всякая диалектика) основана на последовательном созревании категорий. Если уловлена эта последовательность, значит, уловлено все. Но всякая последовательность содержит в себе какое–то начало, какой–то закон развития и какой–то конец. Уловивши эти моменты, мы улавливаем и всю последовательность.

Итак, аксиоматика предполагает какое–то начало. Что это за начало? Начало должно быть максимально просто, максимально несложно. Дойдя до последней простоты, мы доходим до подлинного перво–принципа. Что же это за нерво–принцип в математическом суждении? Что такое то, проще чего не может быть [ничего] ни в каком математическом суждении? Если мы возьмем арифметику, то таким абсолютно простым началом всякого суждения будет, очевидно, единица. Нет ничего проще единицы. В геометрии таковым перво–принципом является точка, ибо в пространстве нет ничего проще точки. В теории множеств таковым перво–принципом необходимо считать элемент, который от единицы отличается идеей порядка, а от точки — идеей чисто количественной осмысленности. Наконец, теоретико–вероятностным перво–принципом является модальное отношение, или событие, рассмотренное в свете модального отношения; это и есть вероятность.

Таково начало аксиом в различных математических науках. Едва ли можно спорить об этом; во всяком случае о единице и точке не может быть никаких сомнений. Перво–принцип вообще есть абсолютно простейшее во всякой данной области. Число, взятое в своей последней простоте и свободе от всего иного, есть перво–принцип всей математики, подобно тому, как чистое полагание есть перво–принцип самого числа. Но вот мы переходим к первым определениям числа, т. е. рассматриваем число как суждение, раскрывающее существенные свойства тела и тем его определяющее; другими словами, вот мы переходим к отдельным математическим наукам. И наш общий перво–принцип, число, превращается в целый ряд конкретных, специфических перво–принципов.