4. а) Диалектика, содержащаяся в этих трех параграфах (намеченных выше римскими цифрами I, II, III), может быть принимаема только в буквальном и отнюдь не в каком–нибудь переносном или условном смысле. Что целое одновременно и больше, и меньше своей части, и равняется ей, — это безусловное требование мысли. Больше того, эти три суждения — «целое равно части», «целое больше части», «целое меньше части» — есть одно и то же суждение. Фиксируя любое из них, мы получаем другое и третье; и невозможно признать только какое–нибудь одно из этих суждений. На этом зиждется вся диалектика, и, не усвоивши[144] этого, нечего и думать проникнуть в диалектические тайны более сложных математических конструкций.

b) Попробуем представить себе, что целое только больше части и в то же время не равно ему. Если целое только больше, то часть, следовательно, меньше целого. А если часть меньше целого, то она, стало быть, есть нечто иное, чем целое, и целого в ней не содержится. Если же целое не содержится в части, т.е. если в каждой части содержится нуль целого, то и во всех частях содержится нуль целого, ибо сумма нулей есть тоже нуль. Следовательно, если целое больше части, и только больше, то это значит, что целое не состоит из частей, а части, входящие в целое, не суть части целого, а совершенно самостоятельные вещи.

с) Могу [т] сказать, что когда утверждается, что целое больше части, и только больше (а в то же время ведь и не меньше), то это надо понимать не в том смысле, что целого совсем не содержится ни в какой части, а в том смысле, что в каждой части содержится часть целого (а не все целое). Тогда получается возможность допускать, что раз в каждой части содержится часть целого, то во всех частях содержится все целое, и, следовательно, отпадает необходимость абсурдного вывода, что целое не состоит из частей и части не суть части целого.

Однако это лишь видимость возражения. Дело в том, что здесь скрыто содержится мысль о разнообразии этих частей целого, наличных в каждой отдельной части, ибо, только утверждая, что в одной части содержится один момент целого, в другой—другой и т.д., только утверждая это, и возможно потом из сложения этих отдельных моментов целого, рассыпанных по частям, пытаться составить само целое. Но эта идея разнообразия моментов целого портит все дело, так как неясно, чем же объединяются эти разнообразные моменты целого. Если они объединяются одним из этих моментов, то, следовательно, по крайней мере хоть в одном моменте целого содержится все целое целиком и, следовательно, хотя бы тут целое не больше части. Если же они объединяются чем–нибудь выходящим за пределы каждого отдельного момента, то они должны быть тождественны между собою в отношении наличия в них этого выходящего за их пределы начала. А так как это последнее может быть только самим же целым, то целое, стало быть, совершенно одинаково содержится в каждой своей части, а не только в виде того или иного своего момента. Следовательно, отдельные части не могут быть между собою разнообразными в смысле наличия целого, и потому отпадает всякая возможность думать, [что] из частичных моментов целого можно создать целое. Так остается в силе основной аргумент, что, когда целое только больше части, — это значит, что целое не состоит из частей.

Или возьмем другое требование диалектики: целое меньше части.

d) Удивляться и вздыхать тут нечего: вся ведь диалектика состоит из антиномий, и вздохами тут не поможешь. Целое потому должно быть меньше части, что оно содержится в целом, а то, что содержится в чем–нибудь, должно быть меньше того, в чем оно содержится. Содержимое меньше содержащего. Этот «парадокс» обыкновенно «опровергается» ссылкой на «очевидную» и «всем понятную» нелепость подобного утверждения. В самом деле, что за глупость: целое меньше своей части? И тем не менее приходится эту «глупость» записать в число самых необходимых и очевиднейших истин логики и диалектики. Именно, целое содержится в части, т.е. помещается в ее пределах, и, как таковое, для того, чтобы быть целым, оно не нуждается в этих других частях целого. А раз оно не нуждается в них, они же суть нечто, то, несомненно, они нечто прибавляли бы к целому, если бы мы присоединили их сюда, и целое, лишенное их, меньше того своего состояния, когда оно бралось бы вместе с ними. Оно, во всяком случае, меньше суммы их. Помещаясь все целиком в пределах одной части, целое, несомненно, меньше всего того, что содержится еще в пределах всех других частей и их суммы. Однако отличается ли чем–нибудь сумма частей и отдельная часть в смысле наличия целого? Разве целое не присутствует везде, и во всем, и в отдельных частях совершенно одинаково и вполне в одинаковом смысле? Конечно, это так. Это условие самого наличия целого в вещах. Итак, часть, в смысле наличия целого, ничем не отличается от суммы частей и тождественна с ним. Потому, если целое, заключающееся в части, меньше суммы частей, то оно тем самым меньше и каждой отдельной части.

Дробное число, как и всякая диалектическая категория, несет на себе смысловую материю[145] всех предыдущих категорий. Мы должны помнить, что каждая диалектическая категория потому и становится таковой, что она есть не что иное, как все категории, какие только существуют, вся логическая истина в целом, но только взятая под определенным углом зрения. Но если это так, то дробное число должно содержать в себе все те моменты, которые мы зафиксировали и для целого числа. Целое число есть нечто, и, стало быть, нечто единое, единица. И дробное число есть в этом смысле нечто, нечто единое и единица. Целое неделимо и самостоятельно — и всякая дробь цела, неделима и самостоятельна. Целое есть само–полагание внутричислового содержания — и точно так же и дробное число. Вместе с тем дробное число есть антитезис целого числа и его инобытие. Поэтому оно также и во всем противоположно ему. Стало быть, все то, что мы знаем из общей диалектики по поводу взаимоотношения тезиса и антитезиса (т.е. бытия и инобытия, или «одного» и «иного»), целиком и полностью содержится в антитезисе целого и дробного числа.

Одно отличается от иного. Но иное есть тоже одно. Следовательно, одно отличается от одного, т.е. одно отличается от себя самого. Целое отличается от дробного. Но дробное тоже есть целое. Следовательно, целое отличается от себя самого. В этом нет ничего удивительного, ибо это значит только то, что целое имеет в себе части и отличается от них, хотя само ничего в себе, кроме частей, не содержит.

Одно тождественно с самим собою, т. е. с одним. Но быть тождественным можно только с чем–нибудь отличным от того, что именно тождественно. Тождество можно установить только между такими элементами, которые между собою различны. Следовательно, если одно тождественно с самим собою, то это значит, что одно тождественно с иным. Удивляться этому нечего, ибо полученный тезис значит только то, что целое состоит не из чего иного, как из своих частей; и что оно тождественно с ним, так как в нем и нет ничего, кроме этих частей. Целое число тождественно с самим собою. Но быть тождественным с чем–нибудь — значит прежде всего быть от него отличным. Итак, целое число тождественно с дробным, причем диалектический смысл этого тезиса заключается в том, что целое число состоит из частей, из отдельных единиц, и в нем ничего нет иного, кроме определенной комбинации этих единиц.

Можно провести эту диалектику по всем основным категориям, из которых сложено число. Однако делать этого не следует, поскольку подобное исследование было

бы лишь повторением основных учений общей диалектики.

5. а) Общая формула дробного числа, имея в виду все сказанное выше, получает следующий вид: дробное число есть число, в котором его инобытие положено внутри его же самого — в условиях перехода этого инобытия в дальнейшее инобытие. Или: дробное[146] число есть такое тождество числа с самим собою, когда последнее оказывается для себя своим собственным содержанием, превращается в полное инобытие для себя самого. Короче: дробное число есть число, в котором его внутреннее содержание перешло в инобытие, т. е. покрылось инобытийными различиями.

b) На этом можно закончить рассуждения о природе дробного числа и перейти к следующему диалектическому плану в развитии математики. Этот этап напрашивается сам собой, даже если мы и не предпринимали [бы ] систематического анализа. То противоречие, в котором находятся целое и дробное число, или, говоря более обще, целое и часть, слишком родственно и слишком бьет в глаза, чтобы нам не искать такой категории, где оба они совпадали бы. Целое число и дробное число суть в диалектическом смысле тезис и антитезис, требующие совпадения в некоем определенном синтезе. К исследованию этого синтеза мы и должны теперь перейти, помня существо всякого синтеза, изучаемое в общей диалектике.

§ 96. с) Бесконечность.