Если бесконечное помножение единицы на саму себя приводит к какому–нибудь определенному конечному числу, то это может быть только в том случае, если в употребляемой здесь бесконечности обязательно содержатся два принципа — принцип бесконечного растягивания процесса умножения и принцип определенной конечности. Бесконечность мыслится здесь как 1) алогическое становление (алогичность ясна уже из отсутствия предела для количества умножений) и как 2) конечная оформ–ленность этого становления. Стоит исключить хотя бы один из этих моментов, как вышеупомянутое равенство I∞ = А становится совершенно немыслимым. Отнесемся к такому равенству совершенно непредубежденно и попробуем сказать, что оно значит. Всякому ясно, что здесь, во–первых, мы умножаем единицу на единицу бесконечное число раз, а, во–вторых, в результате этого умножения получается увеличение единицы до определенного числа. Результат этот получается не от нашего сознательного намерения, но сам собой, силой одного только бесконечного процесса умножения единицы на самое себя. Значит, бесконечность здесь не есть унылый и монотонный ряд единиц, но некий путь, имеющий свой профиль, свою физиономию, являющийся как бы некоей кривой линией, и именно замкнутой кривой линией. Этот бесконечный путь закругляется в определенную конечную величину, и потому–то и появляется определенное конечное число А. (Заметим, что об определенном конечном числе везде тут надо говорить невзирая на то, что тут перед нами т. н. неопределенная форма, ибо, как известно, дифференциальное исчисление дает весьма простые способы раскрытия этой неопределенности.) Силою самого этого бесконечного процесса умножения единицы на единицу создается какое–нибудь конечное число (напр., 5 или 6), потому что сама бесконечность содержит в себе как бы кривизну, мешающую ей быть простой неведомой нагроможденностью, [о] которой только и можно было бы сказать, что она необозрима, и больше ничего. Не внося этих моментов в понятие бесконечности, я не знаю, как можно было бы понять равенство 1°° = Л.

с) Любопытно также и сравнение трех анализируемых нами равенств. Они представляют собою яркую градацию: единица в бесконечной степени равна какому–нибудь конечному числу; какое–нибудь (все равно какое) конечное число в бесконечной степени есть бесконечность; и, наконец, сама бесконечность в бесконечной степени тоже есть бесконечность. Когда математика утверждает первое из этих положений, она, очевидно, мыслит бесконечность в пределах конечного числа и обозначает здесь переход от единицы, т. е. от изначальной субстанции числа, к самому числу. Второе из этих положений мыслит бесконечность уже в бесконечных пределах и возводит не через промежуточную бесконечную область, уже не единицу к конечному числу, но конечное число к бесконечному числу. Первое положение ориентирует нас в пределах конечной вещи: мы, наблюдая данную вещь, производим разложение ее на мельчайшие части и возводим голый, внекачественный факт ее существования к реальным ее свойствам и качествам.

Наконец, третье положение из вышеуказанных ориентирует нас в разных типах бесконечности, а именно во всех типах бесконечности; так как их, этих типов, тоже бесконечное количество, то существует свой особый путь от «бесконечности просто» к бесконечности всех бесконечностей; и этот путь содержит в себе ту же кривизну и является той же замкнутой (и в этом смысле конечной) линией, как и всякая бесконечность.

d) В анализе понятия Неперова числа е мы даем интерпретацию бесконечности, которую необходимо привести и здесь. Именно, упомянутый выше путь бесконечности дает определенную форму этой бесконечности решительно в каждом моменте этого пути. Отсюда можно ставить вопрос не только вообще о «каком–то» конечном числе, которое получается в результате «раскрытия неопределенной формы», но и о самом определенном. Тогда наше выражение 1°° = Л превратится в аналогию Неперова числа (1+-)и (где η стремится к бесконечности). Другими словами, бесконечность тут мыслится как некий предел, а единица — не как мертвая неподвижность, но как единица становящаяся, разбухающая, растущая. Так мыслить единицу необходимо для того, чтобы иметь возможность в каждое мгновение изучаемого процесса получить определенное значение этой «неопределенной формы». Тогда в особенности становится ощутительным алогический рост единицы до определенного конечного числа, который потом расширяется до перехода от конечного числа в бездны самой бесконечности. Рост от единицы до определенного конечного числа в вышеприведенном равенстве есть рост вещи от «бытия» до реальных «свойств», характеризующих вещь в ее конкретном развитии. Единица есть субстанция, первое числовое полага–ние и утверждение, бытие вещи. Как диалектика мыслит переход от «бытия» к прочим категориям? Диалектика мыслит все путем ограничения и оформления, т. е. превращения в размер [ен ]ность и делимость, т. е. путем превращения в дробность и раздельность. «Бытие» также должно получить определенность и форму, т. е. раздельность и дробность; и так как, кроме бытия, вообще ничего нет, то эта раздельность может возникнуть только из взаимоотношения бытия с самим же собою или со своими частями. Отсюда и получается Неперово число

Ясно, что, проделавши этот бесконечный путь, мы получим не мертвую, но живую растворимую единицу, не пустое и мертвое бытие, но развернутую и растворимую, раскрывающуюся конечную вещь. Вот что значит [,что] это «бытие» путем бесконечного процесса переходит в «вещь» и единица — в конечное число. Бесконечность здесь приспособлена к тому, чтобы вывести вещь из унылого и пустого, ни с чем не находящегося ни в каком соотношении бытия на свет ярких и цельных форм, из темной глубины и почвы на роскошно цветущую поверхность земли. Бесконечность, являясь здесь пределом алогического процесса, издали руководит этим процессом, диктуя ему определенную закономерность и направление. На любой точке становления можно решить вопрос, как выполнено задание, лежащее в бесконечности, и какую конечную и определенную форму принимает единица в этой точке. Оба основные момента нашего понятия бесконечности — алогический процесс и оформление — непрерывно связаны с этой закономерностью ряда, выражаемого числом Непера и нашим основным равенством 100 = А. (Само собой разумеется, что не только число е, но и любое функциональное понимание этого равенства вполне пригодно для наших целей, лишь бы только при по[д]становке конечного числа эта функция превращалась в I00.)

От «бытия» вещи мы идем здесь к «конкретной» вещи.

5. а) Не мешает также сознательно диалектически относиться и к равенствам с участием нуля и бесконечности. Так, равенства[160]

содержат отнюдь не пустую идею неизвестно чего (как многие понимают все «неопределенные формы»), но вполне четкую идею о диалектике «[всего]» и «ничто», необходимой для конструкции каждой вещи. Понять эти равенства можно, только внося момент процессуальное™ в нуль и бесконечность, когда мы в них находим пределы некоего применения, или, выражаясь более обычным для диалектики языком, когда мы находим тут совмещение становления и ставшего, или алогической текучести и нетекучего смысла этой текучести. Выкинувши эти моменты из бесконечности, мы совершенно перестаем понимать эти равенства; только когда определен–ным образом данная оформленность внутренней текучести бесконечности переходит в инобытие как в алогическое становление, т. е. когда «бесконечность» переходит в «нуль», только тогда мы получаем конкретную конечную вещь, т. е. определенное конечное число. В этом и заключается смысл трех приведенных равенств.

Третье из них есть наилучшая математическая формула всякого диалектического процесса, т. е. формула прежде всего диалектической триады. Тезис есть замкнутая смысловая бесконечность, наполненная внутренними энергиями и готовая излиться вовне, но не могущая это сделать фактически без наличия окружающего фона, или инобытия, куда бы это излияние могло направиться. Нуль есть как раз это инобытие, инобытие не мертвое и пустое, но алогически становящееся, напряженное. Бесконечность— потенциальное все; нуль—категориальное ничто. Обе стихии сливаются в одно, когда бесконечность изливает из себя свою материю[161] в инобытие и там дробится, переходит в «нечто», размер [ен ]ное и количественное, а нуль, ничто, инобытие, оформляется, осмысляется, наполняется, превращается в «нечто», уже конкретное и реальное, а не просто категориальное, и оба эти «нечто» есть одно и единственное «нечто», одна и единственная конечная, определенная вещь и число. Повторяем, это наилучшее математическое выражение всякой диалектической триады.

b) Столь же выразительной математической формой диалектического процесса является, наконец, и равенство

<∞°>=A.

Быть может, с некоторой точки зрения [оно ] выражает диалектический триадический процесс даже еще лучше, поскольку возвышение в степень, как это выясняется в специальном анализе этой операции, ставит соответствующие числа (и, стало быть, вещи) в более органическое взаимоотношение, чем простое перемножение. Возвышение в степень [выразительнее] по сравнению с механизмом внешних повторений. И вот, бесконечность, органически растущая с переходом в инобытие, распадается на отдельные вещи и тем их порождает, изводя из своей темной глубины развитую и расчлененную, развернутую систему конкретного бытия. Бесконечность нерасчлени–ма; инобытие же, нуль, есть принцип расчленения, ибо «ничто», объединяясь с «бытием», вносит в него раздельность и превращает в «нечто». В умножении множимое механически переносится, как оно есть, во внешнее инобытие, и множитель показывает, как происходит этот перенос. Когда же число возводится в степень, оно умножается само на себя, и, следовательно, в инобытии оно определяется не чем–нибудь иным, но самим же собой. А это есть признак организма — расти из себя самого в инобытийной сфере.