1. Одно из самых первых и элементарных определений мнимой величины — это то, что обыкновенно обозначается как i и представляет собою квадратный корень из отрицательной единицы, √−1. Это вполне слепое определение мнимой величины, получаемое как необходимое завершение понятия числа, совершенно не раскрыто в математике по существу; и, кажется, можно с полным правом сказать, что никто ровно ничего не понимает в этом выражении √−1. В руководствах по математике эта мнимая величина трактуется просто как необходимое следствие из желания проводить любые действия над любыми величинами. Если бы мы не извлекали квадратного корня из отрицательных величин, то в силу этого отпали бы весьма значительные операции, появляющиеся тем не менее вполне естественно, в порядке самых обыкновенных вычислительных приемов. Операция извлечения корня из отрицательной величины появляется вполне естественно, и поэтому волей–неволей приходится считаться с нею. Но что она значит, что это, собственно, значит—извлечь квадратный корень из отрицательного числа — этого, можно сказать, ровно никто не знает. И потому это пресловутое i вводят нехотя, как бы стыдясь столь неприличной вещи, и если вводят, то сейчас же стремятся избавиться от этого i и перейти к «вещественным» числам и операциям.

Это наивное и смешное отношение к числу / было результатом определенной эпохи вульгарного материализма, видевшей конкретное только в вещественном и не подозревавшей того, что подлинная конкретность не в грубом веществе, но в диалектике бытия в жизни, в рождении и пребывании живых противоречий действительности. Поэтому нашей задачей является не стыдливо и боязливо прикрыть этот досадный символ i и сделать вид, что тут нет ничего особенного и что даже самое это / как бы не существует, а, наоборот, дать себе отчет в полной ясности мысли о природе мнимой величины и без всяких ограничений и стеснений вскрыть решительно все те категории мысли, которые вошли в это i и определили собой его общелогическую и, в частности, диалектическую структуру.

2. Что такое (—1) и что такое «квадратный корень»? Единица есть полагание, утверждение. В отличие от всякого другого числа единица есть полагание как такое. Положительная единица есть фактическая субстанция, единица же сама по себе есть полагание мысленное, смысловое; это идеальная субстанция. Отрицательная единица есть отталкивание[187] от положительной единицы, т. е. от фактически положенной субстанции, и — отталкивание снова в идеальную, смысловую область, и притом с новым содержанием. Отрицательная единица, как мы знаем из диалектики отрицательного числа, есть не просто идеальная единица (иначе она ничем не отличалась бы от абсолютной единицы), но такая «идеальная», которая возникла на основе «реальной» единицы. Она существует, но не в том смысле, как существует положительная единица; она существует только в чистой мысли, и притом не как чистая мыслимость просто (ибо в чистой мыслимости нет никакого отрицания), но как чистая мыслимость, отталкивающая реальную данность. Это такая мыслимость, т. е. такое оформление реальной субстанции, в результате которого последняя мыслится отсутствующей. Уже по одному этому (— 1) есть некое представление единицы, вернее, некий ее образ. Ибо та единица, которая существует в реальной единице как именно единица, но в то же время отталкивает от себя реальную положенность самой единицы, — такая единица есть образ, смысловая структура единицы, идея единицы. Ведь в бытии есть или факты, или идеи, или объединение того и другого — больше нет ничего.

Однако в этом смысле отрицательная единица разделяет судьбу вообще всех отрицательных чисел. Отрицательность есть вообще некая мыслимость по сравнению с положительными числами, которые всегда даны как реальность. «Мнимость» есть, конечно, мыслимость, но не просто одна голая мыслимость. Тут возникает вопрос о квадратном корне.

3. В диалектике операции извлечения корня мы увидим, что извлечение корня и возведение в степень относятся к области алогического становления, в частности к области органического роста бытия, в отличие от остальных арифметических действий, которые мыслятся как механические или усложненно–механические. Возводя в степень, мы заставляем данное число повториться в каждом своем элементе; а извлекая корень, мы находим в нем то первоначальное основание, в подлинном смысле «корень», из которого [бытие ] появилось путем самоповторения во всех своих отдельных элементах. Это и есть признак организма — вещественное, субстанциальное повторение целого в каждой отдельной части и вытекающая отсюда невозможность существования этих частей в изолированном виде. Что значит в этом смысле извлечь квадратный корень?

Это значит найти такое первоначальное основание отрицательности, откуда она появляется путем однократного самоповторения во всех своих основных элементах. Откуда появляется мыслимость единицы (отстраняющая реальную субстанцию единицы) и откуда само отрицание, если процесс этого появления есть некое самоповторение? Отрицательная единица есть чистая мыслимость единицы, отстраняющая, отталкивающая реальную единицу; откуда происходит это отстранение и отталкивание, и почему оно есть результат некоего самоповторения, и что именно повторяет тут себя самого в себе же самом?

4. Вот тут–то и рождается категория твердой очер–ченности и оконтуренности числа, той его абсолютной неупругой структурности и образности, перспективности, которая впервые и рождает самое число. Как возможно отрицание чего–либо? Только путем проведения границ, точно отделяющих его от всего иного. Мыслить отрицание единицы — значит мыслить ее границы со всем прочим, что не есть она сама, границы, отделяющие ее от всего прочего. Значит, корень отрицания единицы есть корень, из которого вырастают границы единицы, отделяющие ее от всего прочего. А квадратный корень из отрицательной единицы есть корень, из которого вырастают границы единицы, если их повторить на всем их протяжении. От чего отталкивается мысленная единица, когда она функционирует как отрицательная? Она отталкивается от <…> субстанции единицы, но это может значить только то, что реальная субстанция единицы имеет твердые контуры, от которых и происходит отталкивание. Раз ставится вопрос об отталкивании, то тем самым предполагается, что есть нечто твердое, от чего и происходит отталкивание. Следовательно, реальная субстанция мыслится здесь как твердая, т. е. имеющая определенную негибкую форму. Надо, чтобы эта форма была; и надо, чтобы от этой формы мы отошли и созерцали ее издали, чтобы вообще могло состояться суждение о границах и, значит, об отрицании. Когда проведены границы, то, как это ни [не ]обходимо для четкого созерцания предмета, границы, сами по себе взятые, тем самым еще не фиксируются специально. Ограниченность имманентно сопровождает всякую мыслимость, но чтобы созерцать специально ограниченность, границы, надо выйти за пределы этих границ или, точнее, надо просто различать уже не просто всю вещь от инобытия, но только одну ее границу от инобытия, а это значит — еще раз повторить эту границу в ней же самой, т. е. изменить эти границы, сохраняя не форму, но[188] какую–нибудь (пусть хотя бы бесконечно–малую—этого вполне достаточно) величину. Это и значит извлечь квадратный корень из отрицательной единицы.

Таким образом, — 1 есть не что иное, как полагание твердо очерченной границы, или перспективно сформулированного образа, для отвлеченно взятой единицы, осуществление и утверждение оконтуренности единицы.

5. Тут еще не вскрыты все стороны мнимой величины, но покамест указана только одна существенная сторона. Однако тут вскрыто все, что содержится в конструкции у/— 1. Как скоро увидим, другие методы представления мнимой величины дадут и другие стороны в диалектике самой категории мнимого. Прежде чем перейти к этому, повторим еще раз в строго последовательной форме диалектику √−1.

a) Единица есть утверждение, субстанция, и отвлеченная, абсолютная единица есть утверждение[189] и субстанция в мысли, в идее, идеальное утверждение. Положительная единица есть новое утверждение, т. е. утверждение утверждения, реальное утверждение идеального утверждения. Отрицательная же единица есть новый переход в сферу идеи и смысла, но переход не с целью забвения реальности (тогда это была бы абсолютная единица), но с целью активного ее отрицания. «Минус единица» есть мысленная, идеальная единица, отталкивающая реальную единицу. Другими словами, (—1) есть оформление единицы, взятое в активном отстранении реальности единицы. Такое оформление реального, которое отстраняет саму реальность, есть чистая форма <…>, его смысловой образ.

b) Извлечение корня из какого–нибудь числа есть операция, отражающая то первоначальное ядро числа, откуда появилось само число через свое алогическое становление путем реального самоповторения и самоотражения себя самого в себе же самом, т. е. это есть арифметическое выражение живого роста организма. Извлечение квадратного корня из числа есть операция выявления его указанного ядра, когда оно дорастает до данного числа путем однократного самоповторения (самоот-, следовательно, есть выявление такого первоначального ядра и основания смысловой образности числа, когда оно дорастает до этой образности путем однократного самоповторения (самоотражения, самоотличения).

d) [1.] Это первоначальное ядро и основание числа должно поэтому претерпеть самоповторение, т. е. прежде всего самоотличение, но не то первоначальное самоотличение, без которого это ядро вообще не могло бы существовать «…) правилам диалектики), но то самоотличение, которое отличает от инобытия, не есть принцип, а уже утвержденный принцип, т. е. отличает реальность с определенными границами, самоотличение, которое отличает от инобытия самые границы числа; это самоповторение есть результат квадратности извлекаемого здесь корня. 2. Это основное ядро, или основание, числа должно здесь мыслиться как нечто твердое и абсолютно негибкое, ибо оно выдерживает на себе отталкивание, приносимое смысловой образностью (в случае отрицания), т. е., другими словами, искомое ядро, или основание смысловой образности, числа должно быть твердой, абсолютно твердой оконтуренностью числа, и только тогда эта последняя и может обусловить собою, путем самопротивопоставления, конкретно–смысловую образность числа.

з. Наконец, поскольку это самопротивопоставление и самоотрицание мыслится, по условию, органически, как живой рост организма, оно должно пониматься так, чтобы указанное ядро, т. е. первоначальная, абсолютно–твердая оконтуренность, органически дорастало до конкретной образности числа, чтобы оно было живым скелетом живого числового тела. Это значит, что в той деформации, которую претерпевает [числовой] контур, целиком присутствует самый контур, т. е. то целое, бывшее вначале, остается целым и для того нового, что из него получилось путем деформации.

е) Сводя все вышеуказанное к одной максимально сжатой формуле, можно сказать так. Все, что мыслится, и, следовательно, также число, чтобы мыслиться, должно иметь свои границы, но это еще не значит, что тут фиксируются самые границы. Чтобы фиксировать самые границы, необходимо уже их отличать как таковые от всякого инобытия. Но это значит, что тут фиксируются не границы, но границы границ, т. е. форма границ, образ ограниченности. Мнимая величина и [есть] форма и вид, образ ограничения числа, форма формы числа, число как смысловая перспектива.