Но только ли это? Если бы здесь шла речь просто о переходе в другое измерение, то этот переход сам по себе ровно ничего не говорил бы о мнимости. Получилось бы два вещественных измерения, как обычно бывает, например, при измерении площадей, и больше ничего. Вся сущность вопроса в том и заключается, чтобы перейти от одного измерения в другое без реального перехода в это последнее. Правда, в иррациональном числе мы тоже перешли в другое измерение. Однако, повторяю, там не шла речь о субстанциально новом измерении. Там имелось в виду смысловое же становление внутри данного измерения. В нашем же случае мыслится субстанциальный переход в другие измерения, но реально не совершается, а только мыслится, преображается[192], или отображается. И там, и здесь, следовательно, дано только мысленное, смысловое представление измерения; но в первом случае (для иррационального числа) это есть смысл внутреннего же смысла данного измерения, во втором же случае (для мнимого числа) это есть смысл субстанциально нового измерения, зафиксированный в данном измерении.

Ясно, что это возможно только потому, что мнимая величина есть отрицание одного измерения в другом, представление одного измерения при помощи другого. Пусть я имею прямую и хочу говорить о плоскости только при помощи одной прямой, не переходя реально в эту плоскость. Это будет значить, что я оперирую с мнимыми прямыми (или, если угодно, с мнимыми плоскостями). Пусть я имею плоскость и хочу при помощи одних плоскостных категорий рассуждать о пространственном теле — у меня получатся мнимые плоскости. Наконец, я могу пространство четырех измерений изобразить при помощи трехмерного пространства. Тогда у меня получится усложненное трехмерное пространство, в котором будут участвовать мнимые величины.

И сколько бы измерений мы ни брали, всегда, когда зайдет речь о переходе одного пространства на другое, мы должны будем прибегать к помощи мнимых величин. Ясно: мнимая величина есть отображение в данном вещественном измерении какого–нибудь другого измерения. Данная вещественная величина получает здесь некое новое смысловое оформление, получает внутреннюю перспективу, некий смысловой рисунок, фигурность, не зависящую от того, что мы двигались внутри этой величины, ибо, пока мы были там внутри, мы не могли видеть ее внешнего контура и фигуры и самое большое — это могли только двигаться там в разных направлениях, т. е. устанавливать фигурность ее внутреннего содержания, а не фигурность ее вообще. Теперь мы взяли эту внутреннюю представленность величины, отошли от нее на некоторое расстояние и тем самым наметили возможность зафиксировать эту величину уже как таковую, со всей ее величий ]ной фигурностью, на фоне окружающей действительности. Взять внутреннюю представленность величины из самой величины — это значит взять отрицательную единицу. Отойти от величины на некоторое расстояние, чтобы ее видеть, — это значит отличить ее от того, что ее окружает, т. е. перейти в отношении ее в сферу алогического становления, т. е. в новое измерение. И наконец, находясь в ртом новом измерении, обратить взоры на покинутую величину, с тем чтобы ее увидеть, т. е. с тем чтобы определить тот исходный пункт, который лежит в основе самой ее представленности, — это значит извлечь квадратный корень из отрицательной единицы.

Так понимание Гаусса дает нам возможность философски интерпретировать самый смысл перехода от линейного представления к плоскостному, перехода, содержащегося в самом существе мнимой величины.

8. Если коснуться исторической стороны дела, то справедливость заставляет отметить, что уже Валлис имел полное представление о том, что невещественные корни алгебраических уравнений располагаются по прямой, перпендикулярной к линии вещественных корней, так что уже у него мнимая величина была [в виде] среднего пропорционального между положительной и отрицательной величиной[193]. Валлис действовал в конце XVII в.; ровно через столетие, в 1797 г., К. Вессель выпустил на датском языке труд с таким же представлением мнимости, который, однако, стал известен широким кругам только после перевода его на французский язык уже в конце XIX в.[194] Незамеченной прошла и аналогичная работа Арганда[195] в начале XIX в.[196] И только Гаусс в 1831 г. своей знаменитой работой о биквадратных вычетах сделал изложенную геометрическую теорию комплексных чисел популярным достоянием всех[197]. Изучение взглядов Гаусса, однако, не дает ровно никакого философского результата, если ограничиться текстом самого Гаусса. Единственная мысль его заключается только в том, что мнимая величина есть среднее пропорциональное между + 1 и — 1 и что для ее представления необходимо из линейной области выйти в плоскостную. Этот принцип — колоссальной, решающей важности. Но всякому ясно, что он имеет чисто математическое значение; и для философии он не больше как сырой материал. Наша концепция мнимостей, кажется, впервые превращает это гауссовское понимание в чисто философскую теорию.

§ 107· Некоторые детали.

Чтобы не оставалось никаких неясностей в диалектической концепции мнимой величины, сделаем еще ряд добавочных замечаний.

1. Надо помнить, что кроме мнимой оси в нулевой точке вещественной оси и в этом же перпендикулярном направлении проходит еще также и вещественная ось (если брать прямоугольные координаты). Спрашивается: какая существует разница между мнимой осью и второй, вещественной осью (именуемой обычно «ордината», или ось у–ков)? Тут приходится волей–неволей стать на точку зрения развиваемой у нас теории мнимостей и сразу же отбросить всякое иное толкование. Но это обстоятельство остается весьма поучительным и требует четкого диалектического анализа.

В самом деле, что тут происходит с вещественной осью и в чем же разница между обычной вещественной абсциссой и мнимой ординатой? Привлекая рассуждения, развитые раньше, будем думать так. Когда имеется в виду вещественная граница, это значит, что сама эта граница не фиксируется как таковая. Фиксируя границу как таковую, мы берем ее как чисто смысловую, а не как вещественную. Вещественная ось [есть] субстанциальное осуществление смыслового. Это дерево есть материальное осуществление некоего смысла, некоей идеи дерева. Стало быть, линия, точка и все, что существует, может быть чисто смысловым и чисто вещественным. Они, конечно, находятся в одном и том же месте и «имеют одно и то же направление», как и относительно дерева мы должны сказать, что идея дерева «находится там же», где и само дерево, и что она «имеет то же направление» своего действия и проявления, что и само дерево. И тем не менее это совершенно разные конструкции.

Если мы имеем в виду вещественную абсциссу, то так мы ее и чертим как вещественную, ничем не отличая, в смысле вещественности, от ординаты. Но когда мы имеем в виду мнимую ось, мы не ограничиваемся проведением простой вещественной ординаты, но углубляемся на фоне этой вещественной абсциссы в ее чисто смысловое содержание и берем ее не во всей ее вещественной и телесной осуществленное™, но только в ее принципиальной, смысловой структуре, в ее идеальном содержании и фигуре. Поэтому, хотя мнимая ордината имеет «то же» направление, что и вещественная, и хотя она проходит через гу же нулевую точку абсциссы, что и вещественная абсцисса, все же разница между той и другой — огромная, и не понимать ее значит вообще не понимать природы мнимой величины.

2. В этом учении о мнимости ум, не привыкший мыслить чистый смысл, встречается с трудностями, которые возможно преодолеть только путем длительного педагогического воздействия и самовоспитания. В самом деле, как мыслить это чисто смысловое, идеальное? Как отличить его от вещественного, которое так «понятно» всем и каждому? Тут мы можем только призвать на помощь некоторые аналогии, облегчающие представление мнимостей, но надо помнить, что настоящее понимание, как таковое, не имеет никакого отношения ни к каким аналогиям, и оно должно функционировать без всякой помощи с их стороны. Учиться же на аналогиях всегда полезно.

а) Первая аналогия, которую можно было бы привести, есть аналогия с зеркалом. Видя предмет в зеркале, мы, несомненно, имеем некий его образ. Сказать, что в зеркале присутствует сама вещь, — можно, но ясно, что она присутствует здесь не своей субстанцией (иначе получились бы две вещи, а не одна вещь со своим отражением в зеркале), но лишь своей образностью. Спрашивается: где эта образность находится? Ответить на этот вопрос довольно затруднительно, — во всяком случае не легче, чем на вопрос о «местонахождении» идеального, смыслового. Пусть знатоки вещественности ответят на вопрос: где и как «находится» зеркальное изображение вещи? Сказать, что оно находится «в» зеркале — это значит ничего не сказать, так как и без этого ответа всякому ясно, что изображение находится в зеркале. Этот факт сам по себе вполне очевиден и несомненен. Речь идет совсем о другом: что значит этот очевидный и несомненный факт и как его объединить? Вещь занимает место, имеет определенный объем, вес, плотность, массу и т. д. Ничего подобного нет в зеркальном изображении вещи. И тем не менее то, что мы видим в зеркале, есть сама вещь, сама вещь в смысле ее образа. Эта образность и есть «мнимая» вещь, ибо под «мнимостью» мы и понимаем чисто смысловую образность вещи, которая, раз она именно чисто смысловая образность, не есть вещь и даже не есть нечто вещественное. Изображение вещи имеет свои собственные размеры, причем законы этой размерности не есть законы строения самой субстанции вещи. Изображение вещи в зеркале, как это легко созерцается, находится даже на том или на другом расстоянии от поверхности зеркала, т. е. от вещественной области, хотя это расстояние и оценивается как будто совсем иными мерами, чем вещественные расстояния. Словом, зеркальное изображение живет своей собственной жизнью и связано оно с вещественной стихией вещи тоже весьма своеобразно. Оно, строго говоря, нигде не находится, его вещественные размеры равны нулю, и оно есть смысловая образность вещи, ее «мнимое» изображение.

Так и нужно представлять себе мнимую величину. Она дана в веществе как бы перспективно, и ее контуры абсолютно не поддаются никакому вещественному воздействию; они абсолютно тверды и резко очерчены, и их нельзя стереть или подделать. Это и есть чистая и абсолютная граница и очерченность вещи, ее конкретно–смысловая фигурность и образность.

b) Вторая аналогия относится к более грубому представлению гнущейся, или проваливающейся, поверхности. Поверхность, например, покрытая воском, может воспринять на себя печать и путем продавливания тех или других линий дать изображение определенной вещи. В сущности, это почти та же аналогия, что и с зеркалом. Но только эту вдавленность надо понимать обязательно идеально и чисто смысловым образом. «Мнимое» изображение заставляет поверхность как бы проваливаться внутрь, и это проваливание — не пространственное, а образное, перспективное, некая смысловая печать вещи.