В механике известно т. н. гармоническое колебание, т. е. периодическое движение около некоторого центра. Имеется формула, дающая возможность определить положение колеблющейся точки в любой момент времени по заданным начальным условиям (т. е. по начальному положению и скорости). Это опять значит, что гармоническое колебание есть понятие как принцип, вообще говоря, бесконечного ряда.

Подобные примеры легко привести из любой науки, хотя в самой науке подобные понятия, ввиду их логического совершенства, отнюдь не могут быть получаемы легко. Даже история, одна из самых сложных наук, если где и может считаться наукой, то только там, где она вырабатывает такого рода понятия. Вне всякого сомнения, такие понятия, как «класс», «производство», «правительство» и т. д. и т. д., должны быть именно принципами известных рядов исторических фактов. «Античность», «средневековье», «возрождение», «просвещение» и пр., если проанализировать большинство ходячих руководств, остаются на стадии очень смутных общих представлений и еще не доросли до научных понятий. «Юлий Цезарь», «Петр I» и пр. — все это большею частью только набор того или иного количества случайных фактов, да еще историки обычно хвастались тем, что они приводят только факты и не делают произвольных обобщений. Это, конечно, свидетельствует только о примитивном состоянии науки, барахтающейся в частностях и не дошедшей до научных понятий. В противоположность этому Юлий Цезарь, скажем, Шекспира, Бернарда Шоу или Мом–мсена (независимо от правильности этих характеристик) есть именно понятия, методы, принципы, дающие возможность представить себе бесчисленное количество фактов, взглядов, поступков и событий, строго определенных именно данным методом, и Юлиан Ибсена или Мережковского, и Петр 1 Ключевского или Алексея Толстого есть тоже строгие принципы для бесконечного ряда поступков данных лиц, не только тех, которые даны тут у историков или беллетристов, т. е. на основании этих изображений можно судить и о любом отдельном жизненном случае, как тут поступил бы Юлиан или Петр.

Таким образом, понятие, рассмотренное с точки зрения метода бесконечно–малых, есть закон, или принцип, для бесконечного ряда индивидуальных предметов, дающий возможность получить любой предмет во всем его индивидуальном явлении. Только таким образом и осуществляется великое слово Ленина, признававшего, как мы уже знаем, всеобщее такое, которое воплощает в себе все богатство особенного, индивидуального, отдельного. Чтобы не загромождать изложения, мы ограничились немногим. Но ясно, что подобных примеров мы могли бы очень легко привести несколько сот, и притом из самых разнообразных наук.

В приведенных нами раньше категориях математического анализа и математики вообще неразъясненным остается переход от понятия к существенному отражению вообще. Мы рассмотрели, как отношение бесконечно–малого нарастания функции и аргумента стремится к пределу, к «производной», т. е. как чувственное представление стремится к понятию. Но мы еще не исследовали с достаточной ясностью, что это за переход от производной функции к первообразной, т. е. что это за переход от понятия к существенному отражению материальной вещи вообще. Чтобы внести в этот вопрос необходимую ясность, необходимо коснуться еще ряда категорий математического анализа.

7. ДАЛbНЕЙШИЕ КАТЕГОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЛОГИКЕ

1. В математическом анализе нахождение производной от данной функции называется дифференцированием этой функции, а нахождение первоначальной функции по данной ее производной называется интегрированием; произведение производной функции на произвольное приращение аргумента именуется здесь дифференциалом, а первоначальная функция, получаемая из ее производной путем интегрирования, есть интеграл.

Существует в анализе и другое определение интеграла. Интеграл функции есть предел суммы произведений разных значений данной функции на приращение независимого переменного. Это понимание интеграла наглядно представляют при помощи такого элементарного геометрического образа: если мы возьмем криволинейную трапецию и разобьем ее на ряд т. н. элементарных прямоугольников (т. е. на ряд полосок), то площадь такой трапеции равняется пределу суммы таких элементарных прямоугольников, или, подробнее, пределу суммы площадей бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников при бесконечно возрастающем их числе; отсюда геометрически интеграл и есть эта площадь (при наиболее элементарном его представлении).

2. Применяя эту точную терминологию к логической области, мы можем сказать следующее, давая тем самым общую картину всех этих инфинитезимальных (т. е. построенных на понятии бесконечно–малого) заключений.

Материальная вещь есть независимое переменное, аргумент, или поскольку она носитель бесконечных и неистощимых становлений и свойств, то тут, как мы сказали выше, мы имеем огромное количество разного рода независимых переменных.

Полное и цельное существенное отражение вещи, или ее цельное мышление, есть функция этой материальной вещи.

Дифференциал существенно–отражающего мышления есть нечто, связанное с производной, т. е. с предельным переходом, т. е. с операциями над бесконечно–малыми. Что это за связь, мы сейчас увидим. Понятие это чрезвычайно важно для борьбы с метафизикой, имеющей в виду неподвижное, обалдевшее мышление; мышление здесь, как видим, дается тоже в виде сплошного процесса становления, иначе оно и не было бы отражением вечно движущейся и становящейся материи.

Кроме того, так как мышление есть функция многих переменных, то, по примеру математического анализа, мы прежде всего имеем в логике дело с частными дифференциалами, т. е. с дифференциалами в зависимости от какого–нибудь одного независимого переменного. Существует также и полный дифференциал, равный сумме всех частных дифференциалов. С понятием дифференциала мы входим уже в область серьезного инфинитезимализма в логике.

3. Именно, дифференцировать существенно отражающее мышление— значит получать понятие, т. е. понятие есть первая производная мышления. Дело в том, что адекватно и целостно отражающее материальную действительность мышление, взятое само по себе, так же неистощимо, так же бесконечно, так же бурлит неисчерпаемыми возможностями, как и отражаемая им материя. Иначе невозможно было бы и говорить об отражении. Однако и такое целостное отражение вещи, и такая сама вещь есть нечто слишком жизненно–насыщенное, есть нечто сложное и неанализиру–емое, даже излишнее для обыкновенного мышления, разговора и действия, ибо обыкновенное мышление, разговор и действие все же подходят к целостной и неисчерпаемой вещи с какой–нибудь одной или немногих сторон. Поэтому для реального употребления цельного мышления надо его дифференцировать, имея в виду только какое–нибудь одно независимое переменное. Тогда мы получаем не просто производную функцию, но именно т. н. частную производную. То, что в логике носит название понятия, есть именно эта частная производная от цельного отражения цельной материальной вещи по одному из тех независимых переменных, которые составляют данную вещь.

В самом деле, что такое, напр., понятие воды? Вода, если ее брать как существенное отражение подлинной материальной действительности воды, есть нечто бесконечное. Воду можно понимать физически, химически, производственно–технически, медицински, эстетически и т. д. и т. д. Таких пониманий—принципиально — бесконечное количество, ибо бесконечна сама объективная материальность воды. Но вот мы выбираем из бесконечного количества свойств воды только одну определенную группу свойств, напр. химическую. Но как это мы делаем? Процесс этот не такой простой. Мы ведь не сразу наталкиваемся на Н20 как на нечто готовое. Мы это Н20 должны найти, получить, высчитать. Мы наблюдаем известного рода явления, происходящие с водой, и подыскиваем для них те или иные мысленные отражения, т. е. так или иначе пробуем их фиксировать. И только среди этих бесконечных приблизительных и текучих процессов, происходящих с водой, мы начинаем видеть некую общность, а именно Н20, управляющую всеми отдельными химическими процессами, происходящими с водой. Поэтому химическое понятие воды есть предел и закон для бесчисленного количества соответствующих индивидуальных чувственных фактов. И так как наряду с химическим понятием воды могут быть и другие, то такое понятие мы и называем частной производной нашего общего понимания воды, отвечающего бесконечности самого материального бытия этой воды по одной из ее сторон, а именно, по ее химическому составу.