Аксиома самотождественного различия в геометрии: геометрическая величина есть совокупность абсолютно изолированных элементов в их инобытии. Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность элементов, абсолютно изолированных по актам своего полагания и тождественных, неразличимых по своему смысловому (чисто количественному) содержанию или различимых, но — вне своих чисто смысловых различий. Или еще: совокупность элементов, различающихся по актам своего внешнего полагания и отождествленных в результате такого внешнего полагания.

Аксиомы науки суть высшая и наибольшая общность всех суждений, из которых состоит данная наука. Поэтому можно и ограничиться предложенной формулировкой аксиомы. Однако, забегая вперед и приближаясь к обычному стилю геометрической аксиоматики, мы можем дать ряд основоположений, которые будут гораздо конкретнее. Правда, для этого придется употреблять понятия и термины, относящиеся по своему логическому месту к гораздо более позднему изложению. И тут их придется употреблять в том сыром виде, какой они имеют в нашем повседневном сознании. Так же и в предыдущей аксиоме, перейдя к более конкретному изложению, мы употребили термины «сложение» и «арифметическое действие», не вкладывая в них пока совершенно никакого диалектического смысла. Здесь же придется заговорить о «точках», «линиях», «плоскостях» и «телах» — категориях, диалектику которых мы дадим значительно позже. Правда, у всех решительно аксиоматиков дело обстоит не иначе. Можно сказать, что никто еще не посмел прикоснуться к раскрытию логической тайны этих понятий и все ограничиваются только ничего не говорящей ссылкой на их общезначимость и общепонятность.

Именно, как мы видели, самотождественное различие точки, вообще говоря, есть прямая. Точно так же можно сказать: самотождественное различие прямой есть плоскость; самотождественное различие плоскости есть тело. В соответствии с этим можно в таком более конкретном виде представить общую и отвлеченную аксиому самотождественного различия в геометрии.

1. Две различные точки вполне определяют собою прямую.

2. Три точки, не лежащие на одной прямой, вполне определяют собою плоскость.

3. Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, вполне определяют собою пространственное тело.

Общая аксиома у нас гласит: геометрическая совокупность— такая совокупность, в которой абсолютно изолированные элементы даны в своем инобытии. В приведенной конкретизации: абсолютно изолированные элементы суть точки—две, три, четыре (их может быть сколько угодно); совокупность — это отождествление данных точек; инобытие — это общепространственное отождествление точек, общепространственное их объединение.

5. На основании трех указанных конкретных аксиом самотождественного различия должны возникнуть и другие основоположения, которые, чем дальше, тем становятся все конкретнее и конкретнее и переходят в реальное содержание геометрии как науки. Многие аксиоматики, и в том числе Гильберт, помещают, однако, в число аксиом и такие основоположения, которые отнюдь не являются самыми первыми и легко выводимы из трех формулированных нами выше. Так, в этой группе аксиом, которая у Гильберта и у других называется «аксиомами сочетания» (очевидно, соответствует нашей группе аксиом самотождественного различия), Гильберт помещает кроме аксиомы об определении прямой двумя точками еще следующие аксиомы.

а) «Любые две различные точки прямой определяют эту прямую» (12)[19] . Эта аксиома, очевидно, есть повторение или в крайнем случае детализация первой, ибо когда говорится, что две точки определяют прямую, то имеются в виду не какие–нибудь особенные точки, а просто точки вообще, всякие точки, в том числе и лежащие на данной прямой, лишь бы они были различны, т. е. лишь бы они находились в разных местах. Таким образом, уже первая аксиома говорит о любых двух точках, и вторая аксиома только словесно отличается от первой. Раз мы уже постулировали, что две различные точки вполне определяют собою прямую, то, поскольку здесь не высказывается никаких ограничений, совершенно свободно можно иметь в виду как вообще любые две различные точки, так и любые две различные точки данной прямой. Поэтому степень общности первой и второй аксиомы у Гильберта во всяком случае неодинаковая: вторая аксиома вполне определенно есть частный случай первой.

b) «На прямой вообще существует по крайней мере две точки» (13). Эта аксиома с логической точки зрения также есть не больше как сырой материал — может быть, и полезный. Во–первых, если уже сказано, что две точки вполне определяют прямую, то ясно, что они–то уже во всяком случае должны иметь место на этой прямой. Как же это возможно, чтобы прямая определялась двумя точками, а самих этих двух точек на ней не было бы? Это нелепость. Во–вторых, данная аксиома могла бы получить определенный смысл в том случае, если бы прямая могла быть определена не только двумя различными точками. Тогда аксиома 11 говорила бы только о достаточности определения прямой двумя точками, а вовсе не о его необходимости. Мы тогда определяли бы прямую двумя точками между прочим, так как возможно, что этих двух точек на ней и не оказалось бы. И тогда постулат о двух точках на прямой действительно был бы новостью. Если это так, то как же еще можно определять прямую, — в аксиомах Гильберта ничего не сказано.

В–третьих, Гильберт как бы рассуждает так: я ничего не знаю о том, что такое точка, прямая, и плоскость, и пр.; для меня это просто какие–

По–видимому, в этом и скрывается весь секрет гильбертовских аксиом. Гильберт «не знает», что такое прямая; и, определивши ее двумя точками, он еще «не знает», имеются ли эти две точки на ней фактически или нет. Такая позиция, однако, для философа есть жалкие и наивные потуги на критицизм и на логику.

В самом деле, допустим, что Гильберт действительно не знает, что такое прямая. Вот он «условился»: будем называть прямой то, что определяется двумя различными точками. Если он действительно «не знал» прямую, а знал только точки (почему точка понятнее прямой — тоже неизвестно), то мы вправе его спросить: а что значит «определяется»? Нам известно только, что такое точка, и мы говорим: «Прямая определяется двумя точками». Но что же это такое «определяется»? Если одна точка не есть прямая и другая не есть прямая, то откуда же две точки «определили» прямую? Если имеется два голодных желудка, то на каком основании Гильберт утверждает, что два голодных желудка определяют один сытый желудок? Или это «определение» употреблено у Гильберта в совершенно неясном, непроанализированном смысле: тогда «определение» прямой через две точки ровно ничего не говорит, это пустые звуки, и тогда действительно надо еще отдельно постулировать наличие двух точек на прямой; или Гильберт свое «определение» понимает в обычном — правда, тоже совершенно наивном, но зато вполне ясном—смысле, когда мы приставляем к двум точкам линейку и реально проводим прямую; но тогда постулат о наличии двух точек на прямой уже содержится в определении прямой двумя точками.

Как образец наивности Гильберта в этом отношении можно привести слова из § 2 его «Оснований геометрии»: «Вместо термина «определяют» мы будем употреблять и другое, — напр., а «проходит» «через» А и «через» В, а «соединяет» А «и» В или а «соединяет» А «с» В. Если А есть точка, которая с другою точкою определяет прямую а, то мы употребляем также выражения: А «лежит на» а, «существует точка» А и т. д. Если А лежит на прямой а и сверх этого на другой прямой [£], то мы говорим: «прямые» а «и» [b] «имеют общую точку А» и т. д.». Эти слова наивны потому, что они беспомощно открывают тайный интуитивный корень всего гильбер–товского формализма. Оказывается, «определение» это и есть не что иное, как обычное помещение двух точек на прямой. Но тогда уже в первой аксиоме содержатся все прочие «аксиомы сочетания» о точках и прямой.