с) Гильберт—формалист; он хочет изгнать всякую интуицию из математики и заменить ее логическими определениями. Пуанкаре[20] пишет: «Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения должны, по его мнению, приводиться к чисто механическим правилам; и для того чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они, собственно, выражают. Таким образом можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, напр. в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия». Таким образом, весь смысл предприятия Гильберта заключается в изгнании всего интуитивного и в замене его логикой, потому что только с такой точки зрения и можно оправдать те повторения и тавтологии в аксиомах, которые были отмечены выше и с которыми нам еще придется встретиться ниже. Но вот оказывается, что в самое начало, в самую душу геометрии введена самая обыкновенная интуиция: «проходит через», «лежит на», «соединяет» и пр. Она не уничтожается от того, что эти слова Гильберт ставит в кавычках. Но я повторяю: если «определение» прямой двумя точками есть интуиция, то все прочие аксиомы уже в ней содержатся.

d) Такая же тавтология и путаница у Гильберта и в плоскостных аксиомах. О том, что любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость (Г 5), говорится уже в основной аксиоме об определении плоскости (Г 4). Аксиома же 16: «Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости а, то и всякая точка прямой а лежит в плоскости а» есть не что иное, как следствие аксиомы Г1, потому что если линия вполне определена двумя любыми точками, то ясно тавтологически, что, какие бы две точки на этой прямой ни были взяты, они будут относиться именно к этой прямой, а если вся линия — на плоскости, то и любая точка ее необходимо на той же плоскости. Аксиома Г 7 о том, что «две плоскости имеют по крайней мере две общие точки, если имеется одна общая точка», также есть только следствие из определения плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Что же касается последней аксиомы Г 8: «Существует по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости», то, во–первых, почему–то не сформулировано здесь то, что именно определяется этими четырьмя точками, т. е. тело, в то время как в предыдущих аксиомах формулировалось именно определяемое (линия и плоскость). Во–вторых же, самый способ формулировки этой аксиомы производит несколько наивное впечатление своей сугубой осторожностью и трогательно–деловитым критицизмом. Если Гильберт считает, что признание четырех точек не в одной плоскости есть ничем не доказанная предпосылка геометрии, вводимая нами на веру и потому фиксируемая в виде аксиомы, то ведь тот же самый критицизм можно проявить и к возможности трех точек не на одной линии, и к возможности двух точек вообще. По–моему, также и признание возможности одной какой–нибудь точки ровно в той же мере достоверно и в той же мере сомнительно, что и признание четырех точек. И тогда надо было бы ввести еще три аксиомы: «Существует по крайней мере одна точка»; «Существуют по крайней мере две разные точки»; «Существуют по крайней мере три точки не на одной линии». Это, конечно, было бы наивно и пусто. Все геометрические фигуры, равно как и всякое арифметическое число или действие, совершенно одинаковы в смысле своей достоверности и очевидности; и нужно эту достоверность вынести сразу раз навсегда за скобки и ограничиться логической системой того, что остается внутри этих скобок. Рассуждать же о достоверности и реальности предметов знания вообще не дело математиков.

е) Но попробуем стать на точку зрения самого Гильберта, который не хотел подчеркивать достоверность трехмерного пространства (хотя даваемая им формулировка и вводит в заблуждение), а хотел возможно короче выразить «аксиомы сочетания» (потому что аксиома 18 уже предполагает существование трех точек не на одной прямой, существование двух точек, различных между собой, и, наконец, существование одной точки). Если подходить к аксиоме 18 именно так, то здесь получится некая невязка: предметную общность аксиом Гильберт заменяет внешнею общностью, которая если и имеет какой–нибудь смысл, то только чисто интуитивный. Если имеется трехмерное пространство, то всякий скажет, что тем самым имеется и двухмерное, и одномерное; и для краткости речи, конечно, можно сказать, что пространство по меньшей мере трехмерно. Но эта краткость речи не имеет ничего общего с аксиоматической общностью. Все равно смысл того, что Гильберт хочет сказать в аксиоме 18, заключается именно в утверждении существования пространства одного, двух, трех и т. д. измерений. И если Гильберт скажет, что из I 8 логически вытекает существование двух и одного измерений (в этом, по–видимому, смысл такой краткости речи), то логически также и из одного измерения вытекает два измерения, а из двух — три (подобно тому как единица предполагает двойку, двойка — тройку и т. д.) и логически с таким же успехом можно было бы вместо аксиомы I 8 сказать: существует по меньшей мере одна точка.

Беда только в том, что если действительно стоять на точке зрения абсолютного формализма, то ни из единицы нельзя получить двойку, ни из одномерного пространства нельзя получить двухмерное, так как все эти переходы не просто логические. Из того, что существует точка, ровно не следует, что существует и прямая; и из наличия четырех точек не в одной плоскости ровно не следует (формальнологически не следует), что существуют и три точки не на одной прямой или две вообще различные точки. Если идет дождь, то это еще не значит, что посеянному хлебу от этого полезно, хотя, вообще говоря, хлебу дождь полезен. И из того, что точка полезна для определения прямой, вовсе не вытекает, что прямая обязательно должна существовать, если существует точка. Все дело в том–то и заключается, что тут не просто формальная связь абстрактных понятий, но интуитивная очевидность и тут даже вовсе не понятия, а математические факты. Только интуитивно одно измерение предполагает другое, так как если мы фиксируем прямую, то тем самым косвенно фиксируем и плоскость, на которой она находится. Но Гильберт изгоняет всякую интуицию.

Будем понимать под логическим отношением то, простое и ясное, что имеется каждым в виду, когда заходит речь о логике. Логически определять что–нибудь — это значит выводить его как частное из чего–нибудь общего или как общее из чего–нибудь частного. В этом смысле точка ни в каком смысле не есть ни что–нибудь общее для прямой, так как, сколько бы мы ни дробили точку, мы никогда не получили бы прямую в качестве логического вида понятия точки, ни прямая не есть что–нибудь общее для точки, так как, сколько бы мы ни дробили прямую, мы никогда не получили бы точку — ни как вид понятия прямой, ни даже просто как часть самой прямой. Точно так же никаким ни логическим, ни материальным переходом мы не можем получить из трехмерного пространства двухмерную плоскость, сколько бы мы ни дробили его как некое общее понятие на частные виды или как некую большую вещь на меньшие части и сколько бы мы ни дробили в этом же смысле самую плоскость. Переходя от измерения к измерению, мы совершаем не силлогистическое умозаключение, но чисто интуитивное. И если в аксиоме Гильберта I 8 прочие измерения содержатся геометрически, то это значит только то, что геометрия вовсе не есть логика и что различные измерения связаны между собой совсем не логически. Поэтому надо было бы с точки зрения гильбертовского формализма выставлять бесконечное количество аксиом о существовании измерений (ибо измерений—тоже бесконечное количество).

f) Не нужно перевирать всю эту критику гильбертов–ской аксиоматики. Из того, что критикуется формализм и защищаются права интуиции, совершенно не следует, что только одна интуиция и существует вообще в математике. Это самый бездарный способ возражения, когда защищаемое вами положение начинают трактовать как единственное вами допускаемое. Читателю небезызвестно, что настоящее сочинение излагает диалектические основы науки, а для диалектики и формализм, и интуитивизм есть только противоположности, которые в конкретной науке слиты в нерасторгаемое единство. Гильберт не дает никаких определений понятиям точки, прямой и пр., хотя с точки зрения своего формализма он и обязан был сделать это в первую голову. И вообще всякая наука должна основываться на некоторых первоначальных дефинициях, которые мы постулируем, несмотря ни на какие права интуитивных данных. Всякая интуиция должна иметь свой логический коррелят, — поэтому никто не может упрекнуть автора этой книги в абсолютизации данных интуиции. Но Гильберт не только не хочет давать этих первоначальных определений. Он и не может их дать, потому что всякое логическое определение есть коррелят определенной интуиции, а он последнюю начисто отрицает. И получается основная неясность, почему рассматриваемые им геометрические элементы образуют именно такие, а не иные «сочетания». Поэтому, отказавшись от определений вначале, он пытается проводить их в дальнейшем, протаскивая интуицию исподтишка.

Нечего и говорить о том, что никакая логика, даже самая правильная, никогда не угонится за непосредственным опытом. Постулируя, напр., что прямая имеет по крайней мере две точки, он должен постулировать наличие трех, четырех и т. д. точек, потому что, как хорошо знает с самого начала всякий интуитивно, любая прямая содержит бесконечное количество точек. Но Гильберт этого «не знает». А тогда мало сказать, что прямая содержит по крайней мере две точки, так как отсюда еще вовсе не вытекает, что прямая содержит три точки. Если для Гильберта наличие двух точек на прямой еще не вытекает из самого факта прямой и приходится по этой причине выставлять особый постулат о двух точках, то из наличия двух точек формально тоже вовсе еще не вытекает наличие трех, а из наличия трех не вытекает наличие четырех точек на прямой. Другими словами, опять–таки, только написавши бесконечное количество аксиом, можно было бы охарактеризовать прямую как она есть. Да, впрочем, и самой бесконечности тут не хватило бы, потому что никакая бесконечность точек все равно не может составить одной прямой. Но эта нелепость всегда была там, где рассудок садится на место интуиции.

Наконец, совершенно неудовлетворительно у Гильберта и понимание всего этого раздела аксиом как аксиом сочетания (Verknupfung). Если прямая определяется двумя различными точками, плоскость — тремя точками не на одной прямой, то Гильберт напрасно думает, что тут имеются в виду просто сочетания элементов (если «сочетание» не есть просто условный заголовок этого разряда аксиом). Прямая, плоскость и пространство вовсе не есть сочетание точек. Как бы мы ни «сочетали» точки, мы никогда не получим даже прямой, не говоря о всех прочих измерениях. И если бы мы захотели всерьез назвать ту категорию, под которой существуют все эти аксиомы, мы сначала 1) столкнулись бы с тем фактом, что точка везде абсолютно тождественна самой себе, в каком бы виде мы ее ни брали. Затем 2) мы увидели бы, что точки все могут быть разными (или, обывательски говоря, могут «находиться в разных местах»); они — различны. Наконец, это самотождественное различие точки 3) не может тут браться во всей своей смысловой чистоте, ибо в таком случае мы понимали бы точки не как точки, но как отвлеченные арифметические единицы и вместо прямой из двух точек мы имели бы только отвлеченную арифметическую двойку. Надо это самотождественное различие погрузить в инобытие, т. е. надо, чтобы различие стало безразличием, а самотождество стало постоянным самопротивоположением. Тогда мы получаем самопротивополагающееся безразличие, т. е. алогическое становление, а это и делает впервые возможным перейти от арифметики к геометрии, от числа к пространству, т. е. впервые дает возможность сплошным образом соединить две различающиеся точки. Пусть у нас имеются две различные точки. Это еще не значит, что у нас есть прямая, так как тут пока только чисто арифметическое, отвлеченно–смысловое самотождественное различие точек. Но вот мы представили себе, что эти две точки переходят одна в другую в порядке самопротивополагающейся (или в каждый момент все новой и новой) неразличимости, т. е. в порядке инобы–тийной структуры самотождественного различия точек. Тогда это значит, что мы от одной точки к другой проведем прямую, т. е. впервые получим самую прямую, ибо между нашими двумя точками появилась целая бездна различных точек, но все они не отличны одна от другой.

И вот этот сложнейший диалектический процесс конструирования прямой из точек Гильберт хочет перепрыгнуть одним глупым словечком «сочетание».

Общую установку для диалектического получения основных геометрических элементов читатель найдет ниже, в § 55.3, 4.

§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.

1. Множество отличается от простого арифметического числа инобытийным гипостазированием входящих в него единиц или — в дальнейшей идее упорядоченности, что и модифицирует принцип самотождественного различия вполне своеобразно, совсем не арифметично и совсем не геометрично. В арифметическом числе все единицы и тождественны, и различны, и во множестве все элементы тождественны и различны. Но во множестве каждый элемент еще заново отличается от другого элемента; тут как бы различные единицы. И понимать это надо не в том смысле, что эти единицы только различны, а в том, что они, будучи и различными, и тождественными, одновременно положены в инобытии, так что самотождественное различие оказывается здесь положенным в инобытие (как в геометрии), хотя это инобытие (в отличие от геометрии) мыслится здесь только числовым образом. Каждая единица оказывается здесь как бы меченой, откуда подобное инобытийное гипостазирование и является зародышем идеи порядка, перво–принципом упорядочивания. Таким образом, в глубине самого понятия множества лежит нечто, указующее на то, что принципиально всякое множество может быть мыслимо как упорядоченное и даже как вполне упорядоченное.

Во множестве отдельные единицы различны; и при этом говорится, что не важно, чем они различны: значит, тут играет роль сама категория различия. Но единицы эти также и тождественны между собою: значит, имеется в виду самотождественное различие. Наконец, поскольку единицы самотождественно различны и во всяком арифметическом числе, приходится искать спецификум еще в другом. А это и есть инобытийное полагание самотождественного различия, но без геометрической простран–ственности этого инобытия.