3. Хотя подробная диалектика упорядоченного множества будет нами изложена в специальном отделе о множествах, необходимо и сейчас ради уяснения уже занятых позиций наметить перспективу по вопросу об упорядоченности и показать, какие вообще возможны виды упорядочения с диалектической точки зрения.

Итак, мы различаем чистое арифметическое число (в котором инобытийно–нулевая упорядоченность) и голую идею порядка — категорию подвижного покоя, — которая, конечно, может рассматриваться и сама по себе, без всякого применения к числу или к чему бы то ни было. Разные виды (или, если угодно, ступени) упорядочения возникнут в зависимости от того, как мы будем трактовать взаимоотношение голого инобытийно–нулевого числа и голого порядка (точнее, голой идеи порядка). В зависимости от того, как близко и как глубоко число и порядок проникли друг в друга, от этого будут меняться и виды упорядоченности. Тут та же последовательность диалектических категорий, что и везде.

1) Прежде всего, порядок есть перво–принцип. Это значит, порядок есть некая неразличимость актов полагания вообще. Все акты полагания слиты в одно, но не просто в один акт (актов тут именно много, бесконечно много, и они все друг от друга отличны), а в одну общую смысловую неразличимость. Акты полагания порядка различны, но смысловой результат этих актов — полная неразличимость. Отсюда получается конструкция, в одно и то же время неразличимая — по смысловой взаимослитости всех актов полагания порядка и различная — по самим этим актам. Это есть упорядоченность континуума. Континуум есть, конечно, как и всякое множество, вполне упорядоченное множество. Тут идея порядка присутствует актом своего полагания, своей субстанцией, так сказать, и этих актов множество, они рассыпаны в полную необозримость, но не своим смысловым содержанием.

2) Далее, идея порядка начинает более глубоко и осмысленно внедряться в инобытийно–нулевое число. Именно, она внедряется в противоположность первому случаю вполне смысловым образом, избегая, однако, своего субстанциального воплощения. Там воплощалась субстанция порядка без его смысловой структуры; тут же воплощается смысловая структура без ее субстанции. Там мы имеем упорядоченность, в которой было дано очень много актов полагания, но ввиду отсутствия принципа структурности порядка все эти акты полагания в смысловом отношении оказались слитыми в одну общую неразличимость; здесь же воплощается сама структурность порядка, т. е. зависящая от него как от принципа фигур–ность, но ввиду отсутствия субстанциальности и как бы овеществленности порядка вся эта фигурность остается чисто идеальной, абстрактной, она не принимается в расчет как таковая, а только продолжается такой же «субстанциальный» и континуальный учет этой фигурности, что и раньше. Тут мы — в области топологии.

Это уже не просто континуум, ничем не заполненный, но фигурность, рассматриваемая топологически. Топология занимается, как известно, изучением свойств фигур в отвлечении от конкретной формы с единственным условием— непрерывности деформации. Фигура не должна разрываться, во всем же остальном она может быть деформирована как угодно. Это значит, что в топологическом рассмотрении фигурность дана не целиком, но только абстрактно, как понятие, и воплощается она на континуальном фоне так, что важным оказывается не самая структура фигуры, а только те моменты, которые входят в определение отвлеченного понятия данной фигуры. Это так в геометрической топологии, в analysis situs[30]; это так и в теоретико–множественной топологии. Здесь множество тоже упорядочено так, что еще не дается порядка во всей его конкретной и законченной структурности. Вместе с чистой континуалогией топология рассматривает упорядоченность множества только с точки зрения внешних актов полагания порядка, вне структуры самого порядка — хотя в отличие от чистого континуума топологическое множество уже воплощает на себе идею порядка, пока в самом абстрактном и только понятийном его смысле.

3) Обе установки—упорядоченность субстанциально–актуальная и упорядоченность абстрактно–смысловая — должны объединиться вместе так, чтобы множество оказалось упорядоченным и в том и в другом отношении. Другими словами, должны существовать множества, которые сохраняют свою фигурность и в своих преобразованиях не нарушают ни субстанциальной, ни смысловой упорядоченности. Как и везде в диалектике, здесь отвлеченная идея, соединяясь со своим инобытием, с алогическим (в отношении себя самой) материалом, порождает уже конкретный образ, в котором нельзя отделить идею от инобытия и инобытие от идеи. Здесь появляется чистая фигурность, в которую воплотилась идея порядка, и мы впервые можем увидеть ее стройные контуры. Однако если прослеживать этот ход идей в геометрии, то с этой фигурностью еще не получится обыкновенная элементарная геометрия. Это будет так называемая проективная геометрия, отличающаяся от обыкновенной тем, что ей не свойственна идея измерения, не свойственны метрические установки, представляющие собою уже дальнейшее диалектическое воплощение идей порядка. Аналогично с этим мы должны требовать категорию проективного множества в отвлечении от всякой идеи размерности.

Одна и та же диалектическая конструкция этого тройного вида упорядоченности — континуальной, топологической и проективной—может быть выражена и зафиксирована разно. Во–первых, мы уже указали одну категориальную схему: континуум может трактоваться как перво–принцип, и тогда топологическая множественность будет определена через положенность чистого и абстрактного порядка, а проективное множество будет положенностью и воплощенностью порядка как структурно выработанного порядка. Можно сказать, во–вторых, и иначе: континуум и топологическая структура есть воплощенность из идеи порядка его категории самотождественного различия (можно привести, например, Энриквеса, который прямо говорит, что учение о континууме и вообще топология вырастают на аксиомах сочетания (взаимопринадлежности), что соответствует, как мы видели, нашей категории самотождественного различия); проективное же множество есть воплощенность вместе и самотождественного различия, и подвижного покоя (по Энриквесу, это будет «сфера действия аксиом сочетания» и «аксиом порядка»). Можно диалектически понять то же самое еще и так: континуум — неоформленный и внутри не расчлененный тезис; топологическое множество — антитезис, ибо присоединение фигурности пока только абстрактно — как структурно безразличный акт полагания. Проективное множество—синтез, воплощенность в числовой сфере чистой и законченной, конкретной структуры (т. е. фигурности). Мы уже знаем, что диалектически возможны самые разнообразные конструкции одного и того же смыслового обстояния; и поэтому настаивать на какой–нибудь одной из предложенных конструкций нет никаких оснований. Тут важна только нарастающая смысловая сложность упорядочения: континуум, топос и проективное множество.

В данном месте нецелесообразно давать полную диалектику всех видов упорядочения, так как это является предметом целого специального отдела нашего исследования. Поэтому мы не касаемся пока таких построений, как аналитическое множество или измеримое множество, представляющих собою еще дальнейшие диалектические этапы упорядочения. Предыдущие замечания были только образцом исследования данного вопроса.

4. Стоит упомянуть еще и о том, что в математической литературе мы имеем попытки определить и самое понятие порядка. Это, конечно, редкость, потому что большая часть основных понятий в математике вообще не определяется никак. Кажется, никто еще не дал определения таких понятий, как «точка», «линия», «сумма», «множество» и т. п. К числу этих определяемых только вербально понятий принадлежит и изучаемая нами здесь категория порядка. У Френкеля[31] мы находим следующее определение этой категории: «Множество R обладает следующими характеристическими для него свойствами: 1. если ту и т2—два различных элемента множества А/, Rx и Я2 — соответствующие им остатки из А/, то или Я2 есть подмножество для /?ь или Rx есть подмножество для R2 (именно смотря по тому, появляется ли тх раньше т2 или т2 раньше тх)\ 2. если тх и т2 — два различных элемента А/, то в R входит по крайней мере один остаток R0, содержащий один из обоих элементов тх и т2 (а именно элемент, появляющийся в Μ на более позднем месте; если тх стоит раньше т2, то, например, соответствующий тх остаток R0 хотя и содержит тъ но он не содержит тх)\ 3. объединенное множество каждого множества остатков от Μ (т. е. каждого подмножества для R) есть в свою очередь остаток от Μ—следовательно, элемент от R». Множество R с такими тремя свойствами и есть то множество, при наличии которого упорядочивается множество М.

[а)] Это определение упорядочивающего множества способно сначала поставить философствующего только в тупик. Однако тщательное расследование этого определения вскрывает как всю беспомощность математической мысли поставить философскую проблему, так и ее весьма поучительную слепоту, но все же в своей слепоте бессознательно правильно нащупывающей логический аппарат, который тут пускается в ход человеческим сознанием.

b) Возьмем первое свойство множества R. Здесь указывается, что каждому элементу из Μ соответствует некий определенный остаток до всего М9 который пока мыслится как неупорядоченный. Выставляется требование, чтобы эти неупорядоченные куски множества Μ тоже находились между собою в отношениях целого и части. Что такое требование вполне естественно, в этом сомневаться не приходится. Но тут с первого же шага совершается обычная в математических рассуждениях petitio principii; а именно, требуется определить, что такое порядок множества или что такое упорядочивающее множество. Но при этом уже предполагается, что Μ упорядочено (так как имеется в виду, что т1 раньше т2 или наоборот). Ведь только зная порядок элементов в М, и можно будет сказать, какой остаток и для какого [элемента ] окажется частью или подмножеством. Что тх раньше т2, это Френкель знает; и что значит этот порядок, его нисколько не смущает. Но для R он почему–то не знает, как понимать порядок, и вдается тут в сложное рассуждение.

Однако не будем на этом настаивать. Закроем глаза на то, что в определении порядка здесь уже фигурирует категория порядка и неизвестное определяется здесь через другое неизвестное. Что же дальше? Зачем понадобился этот переход к «остаткам» и какое это имеет отношение к идее порядка? Тут, однако, необходимо указать, что математик пошел на ощупь вполне правильно. Хотя в смысле принципиальной мыслимости и не существует никакого неупорядоченного множества, но мы можем условно занять такую позицию, что есть некое множество, но что в нем все спутано и неразличимо и является как бы бесформенной глиной или песком. Как при такой позиции прийти к идее упорядоченности? Очевидно, необходимо прежде всего отбирать из этой глины те или другие порции, для того чтобы потом их как–нибудь обделать, объединить и придать им ту или иную форму. Первое свойство множества о котором говорилось выше, и есть, очевидно, не что иное, как распределение алогической массы множества Μ на отдельные взаиморазличимые куски, о величине которых можно судить и которые являются один в отношении другого целым или частью. Но если это так, то философский смысл первого свойства заключается в том, что тут элементы множества А/ перестают мыслиться в своей отвлеченности, но что они переходят в свое инобытие и в нем воплощаются. Когда мы берем элемент тх и смотрим на то, что еще остается в А/, то хотя этот остаток по условию еще и мыслится неупорядоченным, но уже гораздо в меньшей степени, мы как бы уже видим здесь, где он начинается и где кончается. Изрезавши все множество R на такие куски (путем противопоставления данного куска соответствующему элементу из А/), мы, очевидно, получаем не что иное, как то же самое множество А/, но уже как отраженное на R, и само–то R оказывается не чем иным, как множеством всевозможными способами полученных следов всех элементов А/, множеством всевозможного воплощения всех отвлеченных элементов этого последнего на его алогическом материале. Действительно, так оно и должно быть: порядок предполагает, что есть отвлеченная идея и есть реальный, но алогический материал, который этой идее подчиняется. Так вот, кромсание этого материала на куски, которые потом превратятся в упорядоченные элементы, есть первый необходимый этап упорядочивания, и смысл этого первого свойства множества /?, очевидно, сводится к переходу отвлеченного элемента в свое инобытие, причем переход тут совершается пока не целиком, а только по факту элемента: элемент получил для себя инобытийную субстанцию, но она еще остается без воплощения подлинного смысла элемента, остаётся грубым и необработанным куском.

с) Перейдем ко второму свойству множества R. Здесь утверждается, что если имеется в А/ два каких–нибудь элемента, из которых один позже другого (опять предполагается идея порядка!), то в Λ должен быть хотя бы один остаток, содержащий в себе один из этих элементов. При этом если идея порядка здесь подлинно функционирует, то этот остаток должен содержать в себе именно позднейший элемент из этих двух, так как остаток, соответствующий элементу ти может содержать в себе элементы только высшие, чем ти а таковым является только т2 (раз соблюдается последовательность перехода от тх к т2). Другими словами, это второе свойство множества R связывает его с множеством Μ в том смысле, что до сих пор отдельные «части» R мыслились только в своем взаимном различии, но не мыслились ни в каком взаимном порядке, теперь же они мыслятся как продолжение тех или иных элементов из М. Второе свойство множества R предполагает, что порядок в R может быть только в том случае, если, взявши что–нибудь из Af, мы этого уже не встретим в R, а встретим только то, что выходит за его пределы. Здесь, очевидно, устанавливается ориентация отдельных моментов R в отношении элементов А/. Каждый момент R отныне, оказывается, начинает нести на себе энергию целого Af, т. е. отвлеченно взятый элемент Μ не только перешел в свое инобытие, в R, субстанциально, но он перешел по смыслу. Остается, стало быть, только подтвердить, что все эти «части» Λ, отныне получившие смысл элементов, сами суть нечто целое, т. е. образуют некое самостоятельное множество. Тогда и окажется, что упорядоченное множество действительно конструировано из вполне алогического материала.

Это фиксируется в третьем свойстве множества R.