До сих пор из намеченного Аристотелем плана осуществлено два пункта — анализ учения о математическом предмете и анализ учения об идеях. Остается третий пункт, представляющий собою как бы объединение первых двух, анализ идеальных чисел. Как сказано вначале, Аристотель посвящает этому три большие главы XIII 7—9. Но этому предшествует у него глава XIII 6, в которой содержится предварительный обзор и классификация различных учений о числе. Конечно, с исторической точки зрения прежде всего интересно точно знать, кому принадлежат эти учения и как и когда они развивались в форму законченного философского учения. Но мы не будем решать этого вопроса в настоящем месте, так как этим я занимаюсь в специальном исследовании <о) понятии числа в античной философии; и здесь такое отвлечение внимания было бы совсем неуместно. Кроме того, и сам Аристотель не называет авторов анализируемых им учений. И даже больше того. Он прямо заявляет, что его классификация имеет в виду исчерпать все логически возможные учения об идеальном числе; и быть может, и сам он не смог бы всегда точно приурочить то или иное учение к тому или другому автору. « [Ясно], что названы [тут] все способы» (1080b 34—35); и — «таковые единственно необходимые способы, какими можно существовать числам» (1080b 4—5).

Классификация, предлагаемая Аристотелем в XIII 6, очень проста; но, чтобы понять ее, надо предварительно усвоить одну мысль. Если мы попытаемся схватить самое общее отличие числа от идеи, то это будет та его особенность, что оно есть некая счетность, т. е. что в нем есть некая последовательность ряда мысленных или иных пола–ганий. Идея и есть идея; она — абсолютно единична, и в ней мы не мыслим обязательно перехода от предыдущего к последующему. Число же есть именно такая последовательность и такой переход; и оно не мыслимо без того, чтобы мы не могли его сосчитать. Число «пять» обязательно указывает на то, что было или есть каких–то пять полаганий, что могло быть, следовательно, четыре или шесть и что имеется фактически именно пять. Теперь обратим внимание на то, что сейчас у нас речь идет не о числах как таковых, т. е. тех, которыми оперирует математика, и не об идеях как таковых, которые суть не что иное, как понятия, но отделанные в виде модели или рисунка. Речь идет об идеальных числах. После предыдущего замечания это может значить только то, что мы тут выставляем такие числа, в которые входит некое идейное содержание, т. е. некая уже несчислимость, неспособность к счету, некая сплошная качественность, которая не выразима никакими количественными переходами и рядами. В зависимости от степени вхождения в число этого не–числового содержания и можно разделять получающиеся таким путем идеальные числа.

Именно, первая группа чисел будет та, где «никакая единица не счислима ни с какой [другой] единицей» (1080а 19—20). Это будет, конечно, полной противоположностью обычным арифметическим числам, в которых, наоборот, «все они [находятся] в прямой последовательности и всякая из них счислима со всякой [другой] »; «в математическом [числе] ни одна единица никак не отличается от другой» (20—23). Это — одна группа чисел и одно фи–лософско–математическое учение. Другая группа чисел отличается тем, что в ней «одни счислимы, другие же нет» (23). Наиболее простая форма этих чисел заключается в том, что мы имеем ряд чисел совершенно несчислимых между собою, в то время как внутри каждого из этих чисел отдельные единицы вполне счислимы. Здесь получается, что единицы, счислимые внутри определенной числовой структуры, не счислимы с единицами другой числовой структуры, как несчислимы и самые эти структуры (23— 30). Обычное математическое число, конечно, таким не может быть. В нем всегда и везде, при всяких возможных условиях, «один» да «один» дают «два», «два» да «один» дают «три», «три» да «один» дают «четыре» и т. д. и т. д. Тут голая монотонная последовательность, и нет никаких скачков из одной качественной сферы в другую (30—35). Наконец, существует учение, которое утверждает, что существуют числа всех трех упомянутых только что родов, т. е. числа в условиях чистой несчислимости, в условиях абсолютной и непрерывной счислимости и в условиях прерывной счислимости (35—37). — Эти три типа фи–лософско–математических учений совершенно ясны сами по себе и не требуют никакого специального комментария.

С философской точки зрения, имеет значение еще и другое разделение теорий числа. А именно, одни теории отделяют число от вещи, т. е. полагают его как совершенно самостоятельную природу, независимую от вещей. Другие теории, не отделяя число от вещи, а, наоборот, внедряя его в вещи, полагают, что вещи, собственно, и есть не что иное, как числа. Эту теорию Аристотель резко отличает от своей теории, по которой числа тоже внедрены в вещи, но они не отождествляются с ними, а являются их абстракцией. Наконец, есть теории, признающие, что одни числа отдельны и независимы от вещей, другие же внедрены в самые вещи (1080а 37—1080b 4). Однако эта вторая классификация имеет более общий характер, и Аристотель ее уже касался. Первая же классификация имеет более предметный характер, и Аристотель посвящает разбору установленных тут теорий свое дальнейшее изложение.

9. СЧИСЛИМОСТЬ И НЕСЧИСЛИМОСТЬ

На очереди критика абсолютной и относительной несчислимости. Ей Аристотель посвящает большой текст с XIII 7, 1081а 17 до конца этой главы XIII 7. Этому предшествует, однако, одно замечание о счислимых числах (1081а 5—17). Сводится оно к следующему.

Полная счислимость, т. е. полная взаимная однородность и качественное безразличие единиц, есть, очевидно, принадлежность чисто математического, или, точнее, арифметического числа. Аристотель доказывает, что такие арифметические числа ни в коем случае нельзя считать идеями; и идеи, если они существуют, не могут, по Аристотелю, сводиться на такие числа. Пусть мы имеем идею человека, т. е. пусть имеется «человек–в–себе». Она необходимо так или иначе качественна и неповторима. Какое же это число и что тут, собственно, количественного? Допустим, что «человек–в–себе» есть «три». Но мы условились, что все числа чисто количественны и никакого качества в себе не содержат. Стало быть, «человек–в–себе» не может быть определен через «три»; таких «безразличных» троек — сколько угодно, и «человека–в–себе» можно определять через какую угодно тройку, и никакого качественного и неповторимого определения все равно не получится (1081а 5— 12). Но если идеи не суть числа, то они вообще не существуют. Платоники учат, что числа получаются из объединения двух принципов — Единого и Неопределенной Двоицы. Если так, то куда же деть идеи? Или из этих двух принципов действительно происходят идеи — тогда эти идеи есть просто самые обыкновенные числа; или из них происходят числа — тогда нет места ни для каких особенных идей (а 12—17).

Итак, абсолютно счислимые, взаимно–однородные и качественно–безразличные числа не могут считаться идеями, т. е. не могут быть идеальными; а так как из платонических принципов Единого и Двоицы выводятся, по их мнению, именно числа, то для идей вообще не остается никакого места. По поводу этой аргументации Аристотеля надо заметить, что последнее соображение может нами и не приниматься в расчет в данном контексте. Именно, из того, что, по учению платоников, числа происходят из Единого и Двоицы и что, по их же опять–таки учению, отсюда происходят и идеи, — вовсе ничего не следует относительно превосходства арифметического числа над идеями. Вероятно, платоники как–нибудь увязывали происхождение из названных принципов и числа, и идеи; и не может быть, чтобы они сами не знали, что же именно отсюда происходит, числа или идеи. Если идея не число, то это еще ровно ничего не говорит о положительном содержании идеи; и тем более это ничего не говорит о том, что идей вообще нет. Тут у Аристотеля не ошибка в аргументации, а просто отсутствие аргументации, недостаточное ее развитие, так как заявление, что идеи «нельзя поместить ни раньше чисел, ни позже» (1081а 16—17), просто бездоказательно и неясно (неясно, напр., в каком смысле раньше или позже). Что же касается первого соображения (1081а 5—12), то, судя безотносительно, с ним, конечно, можно вполне согласиться. Если существует только арифметическое число, то, разумеется, нет никакой нужды ни в каком «идеальном» числе, так как это было бы только заменой одного словесного обозначения другим. Однако, во–первых, платоники и не думали, что существует только арифметическое число, а во–вторых, утверждение это правильно лишь в силу своей тавтологичности: если есть только арифметическое число, то, значит, нет никакого не–арифметического числа. Таким образом, этот отрывок 1081а 5—17 мог бы быть без ущерба выпущен из общей критики платонизма у Аристотеля.

10. КРИТИКА АБСОЛЮТНОЙ НЕСЧИСЛИМОСТИ

Далее мы находим, как сказано, ряд аргументов против неснислимых чисел. Эти дальнейшие тексты имеют часто весьма мудреное словесное выражение, так что перевод и анализ их являются самой настоящей исследовательской работой, превосходящей трудности всякого самостоятельного научного построения. Все эти аргументы могут быть разделены прежде всего на две группы. Одна имеет в виду такие не–счислимые числа, которые несчислимы во всех отношениях, т. е. тут критикуется абсолютная несчислимость (1081а 17—b35). Другая группа аргументов относится к числам, несчислимым между собою, но счислимым каждое внутри себя, т. е. тут критикуется прерывная счислимость, или относительная, прерывная несчислимость (1081b 35— 1082b 37 и даже начало следующей главы — 8, 1083а 1 — 17). Рассмотрим каждую группу в отдельности.

а) Первая группа содержит три аргумента.

1) При абсолютной несчислимости чисел отпадает уже всякая возможность говорить о приложении их в целях математики. Арифметические числа «монадичны», т. е. состоят из голых отвлеченных и абсолютно бескачественных единиц; идеальное же число — абсолютно качественно, откуда и его несчислимость со всяким другим идеальным числом (1087а 17—21). Но и как чисто идеальная структура это абсолютно несчислимое число совершенно немыслимо. В самом деле, если тут абсолютная несчислимость, то Единое и Неопределенная Двоица, из которых, по учению платоников, происходит число, тоже абсолютно несчислимы, т. е. абсолютно диспаратны, и тогда нельзя говорить, что числа происходят из Единого и Двоицы. Это «и» уже указывает на какую–то счислимость. Следовательно, оставалось бы утверждать, что все числа даны из одной Двоицы (а 21—25), из одного принципа множественности, т. е. даны сразу и одновременно. Но если даже и признавать какую–нибудь последовательность в этих числах, какое–нибудь «раньше» и «позже» в единицах, составляющих, напр., двойку или тройку, то получится та нелепость, что эта двойка или тройка будет раньше одного своего составного момента и позже другого (а 25—29).

В этом аргументе надо отдать себе отчет, чтобы не стать в тупик и перед последующими аргументами. Уже тут бросается в глаза одна особенность аргументации Аристотеля, когда он оперирует с платоническими понятиями Единого и Неопределенной Двоицы. Дело в том, что Аристотель, верный своему формализму, понимает формалистически и эти два принципа, не видя всей их диалектической принципиальности, и считает их просто тем же самым, что и все вообще числа. Между тем, чтобы не ходить далеко, уже «Филеб» Платона прекрасно показывает, что «предел» и «беспредельное», из синтеза которых рождается «число», суть для Платона принципы чисто диалектические. А «Парменид» развивает эту тему со всей обстоятельностью. Единое, чтобы быть, предполагает свое инобытие, от которого оно отличалось бы. Это инобытие, как именно инобытие, есть уже не–единое. Его–то платоники и называют Неопределенной Двоицей. Двоица вовсе не есть самая простая двойка, как и Единое вовсе не есть обыкновенная счетная единица. Это суть необходимые диалектические принципы, из которых образуется решительно всякое число, и «идеальное», и «арифметическое», и в арифметическом — и единица, и двойка, и тройка, и всякое другое число. Аристотель же думает, что Единое и Неопределенная Двоица суть просто первые числа в натуральном ряду, за которыми должны следовать тройка, четверка, пятерка и т. д. Или же это — формальные принципы всякого единства и всякой множественности. Отсюда и происходит ряд недоразумений, вполне понятных на почве аристотелевского формализма.

Именно, Аристотелю непонятно, как же могут быть несчислимыми числа, происходящие из счислимых и «уравниваемых» Единого и Двоицы? Во–первых, Единое и Двоица не только счислимы; диалектика требует, чтобы они были одновременно и несчислимыми. Это ведь только частный случай общедиалектического взаимоотношения «одного» и «иного». Во–вторых же, свойства этих основных принципов образования числа и эйдоса — Единого и Двоицы — совершенно несоизмеримы со свойствами отдельных арифметических или «идеальных» чисел. Допустим, что они счислимы: из этого нельзя делать никакого вывода для чисел. Это ведь не числа, и ничего общего с числами не имеют. Это — принципы самого числового структурообра–зования. Поэтому аргумент Аристотеля 1081а 21—25 построен на ошибочном понимании принципов диалектики и на игнорировании самой диалектики. На той же формалистике построен и аргумент 1081а 25—29. Аристотелю тут непонятно, как совмещается качественная несчислимость с количественной последовательностью. Пусть мы имеем, говорит он, какое–нибудь идеальное число, напр. два. Оно состоит из двух единиц. Допустим, что «два» не–счислимо с «тремя», «четырьмя» и т. д., но счислимы обе единицы, входящие в «два», т. е. одна из них «первая», а другая — «вторая». Тогда получится, говорит Аристотель, что наше идеальное «два» будет позже первой единицы, входящей в ее состав, и раньше второй. Это — сущая нелепость, по поводу которой можно только пожать плечами. Во–первых, «раньше» и «позже» в отношении к числам может иметь только логический, а не временной характер. А во–вторых, даже и логически первая единица есть такая же первая, как и вторая, потому что совершенно безразлично, откуда начинать счет, и к структуре числа это никакого отношения не имеет.