Алгебра в этом смысле выступает как абстрактная алгебра, как наука, систематически изучающая не некии реальности, а отдельные выделенные свойства этих реальностей, безотносительно к целостности последних. Популярность декартовского метода в XVII столетии, в целом, неизменно возрастала. Простота и эффективность метода(но лишь для некоторого класса задач!) обеспечили ему много защитников.

Однако, отнюдь не все ученые соглашались с естественностью этого метода, с тем, что он выражает саму природу геометрического знания. Здесь характерна позиция И.Ньютона. Ньютон сам виртуозно владел методом аналитической геометрии, о чем ярко свидетельствуют его физико-математические сочинения. Однако Ньютон не считал, что алгебраические методы адекватно выражают природу геометрии.

Ньютон, вообще, говорил, что «алгебра — это анализ сапожников в математике». Чтобы понять суть возражений Ньютона, рассмотрим один пример. Пусть, нужно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Обычно для доказательства теоремы делают дополнительные построения:продолжают АВ, откладывают BD=ВС, соединяют D с С:     АМ АВ МС ВС       Рассматривая некоторые углы этой конфигурации делают вывод о параллельности ВМ и DC, а из параллельности легко получается искомое соотношение.

Понятно, что подобное доказательство невозможно получить с помощью метода аналитической геометрии. Невозможно просто потому, что метод не позволяет получать какие-то дополнительные построения:метод просто вычисляет. Обычный, то есть практиковавшийся с античности метод в геометрии(в противовес методу аналитической геометрии его называют синтетическим)

оставляет место возможности новых подходов — проведению новых линий и усмотрению новых соотношений. Метод же Декарта скрывает все это богатство интуитивных возможностей за формализмом алгебраических уравнений. Чуткие умы почувствовали это уже в XVII веке. Ньютон, оспаривая претензии декартовского метода на универсальную значимость, писал:»Уравнения суть выражения арифметических вычислений, и они, собственно говоря, не имеют места в геометрии...

Умножения, деления и тому подобные вычисления введены были в геометрию недавно и при этом неосторожно и в противоречии с основной целью этой науки. Всякий, кто рассмотрит построение задачи с помощью прямой и круга, найденные первыми геометрами, легко увидит, что геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя линии, могли с удобством избегать утомительных вычислений.

Поэтому не следует смешивать эти две науки. Древние столь тщательно отличали их друг от друга, что никогда не вводили в геометрию арифметические термины. Современные учения, смешивая обе науки, утратили простоту, в которой состоит све изящество геометрии. Арифметически проще то, что определяется при помощи более простых уравнений, геометрически же проще то, что определяется при помощи более простого проведения линий;и в геометрии следует считать лучшим то, что наиболее просто с геометрической точки зрения»[178] .

Эта ньютоновская специфически геометрическая простота представляет собой апелляцию к особой оценочной способности, чувству естественности и изящества решения, способности, родственной художественному вкусу. Она воспитывается систематической работой с геометрическими объектами, служит не только оценочным, но и эвристическим средством в решении задач, и не поддается формализации.

Выработать в себе эту способность значит воспитать в себе особую интуицию, которая отнюдь не тождественна той, так сказать одномерной[179] интуиции, о которой говорит Декарт в своем методе. Декарт превозносил свой метод, как доступный самому посредственному интеллекту. Простота и доступность метода объясняются тем, что он, по Декарту, является выражением естественных структур человеческого ума.

В процессе исторического развития эти структуры были заслонены и частично блокированы множеством искусственных и ложных гносеологических схем и теорий. Пафос декартовской философии — пафос революционной интеллектуальной робинзонады, разрушающей все полученное от предшествующих поколений знание и начинающей строить на чистом месте:»Я не знаю здесь лучшего средства помочь горю, кроме как разрушить это здание до основания [здание всей предшествующей науки — В.К.

] и воздвигнуть новое;я не хотел бы принадлежать к числу тех никчемных кустарей, кои занимаются лишь починкой старых изделий, потому, что сознают свою неспособность создать нечто новое»[180] ;»...здравомыслящий человек, даже если он был вскормлен в пустыне и его единственной просветительницей была природа, должен был бы иметь такие же мнения [по поводу декартовского метода — В.К.

], как мы, если бы он как следует взвесил все подобные доводы»[181] . Но действительно ли так естественен метод Декарта?Действительно ли он столь необходимо выражает саму структуру познающего разума?Действительно ли он доступен самым средним способностям?Усомниться в этом можно уже на примере применения этого метода в геометрии. Метод аналитической геометрии стремится элиминировать всю интуитивную составляющую, все эти дополнительные построения, «прозрения» и т.д.

, свести решение задачи только к калькуляции. Но действительно ли это ему удается?Оперирование с уравнением — приведение его к стандартным формам, решение его и геометрическая интерпретация — действительно представляет из себя лишь «запрограммированное» следование определенным правилам. Однако, уравнение нужно сначала получить и составление этого уравнения отнюдь не поддается какой-либо определенной алгоритмизации.

«Итак, — объясняет Декарт в Геометрии процесс составления уравнения, — желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом:это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим [выделенно мной — В.К.][182] «.