А, в то же самое время, аксиома выбора необходима для доказательства фундаментального положения теории множеств: сравнимости любых мощностей множеств. Кроме того, аксиома выбора явно или неявно используется во многих положениях математического анализа (лемма Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности любой ограниченной последовательности, теорема Коши о конечных приращениях, теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и т.д.)

Поэтому мы вынуждены сохранять эту аксиому в качестве некоторого постулата нашего познания, полностью осознавая нашу «навязчивость» в отношении бесконечного... Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых — это континуум-гипотеза. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a 0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума[ttttt] 2a 0  = a 1 Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 году П.

Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело-Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше[uuuuu] , чем любое a n, для любого n, больше a w и т.д.[vvvvv] ... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь».

В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать. § 3. Умудренное незнание Даже в своих простейших вариантах мир теории множеств оказывается в высшей степени парадоксальным. Трудно сразу представить, что принятие аксиомы выбора, столь казалось бы естественного утверждения, приводит к парадоксу Банаха-Тарского: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар»[wwwww] .

И сразу, конечно, возникает вопрос: а как это соотносится с физическим миром? Неужели подобное возможно и в отношении вещества?.. Или же аксиома выбора здесь нгеприменима?.. Мы не знаем ответов на эти вопросы. Так называемые парадоксы, а точнее, сложнейшие апории были «язвою» теории множеств с самых первых этапов ее вхождения в научный оборот, уже с 90-х годов XIX века. Так, Б.

Рассел анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени»[xxxxx] , выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е.

множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента. Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда значит М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие.

На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом. Другим очень неприятным казусом был парадокс Бурали-Форти.

Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b . Этот тип b должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако, по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы, тем самым, приходим к противоречию: b > b .

Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда падало также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей). Кантор пытался уйти от парадоксов, связанных с, так сказать, «очень большими» множествами, по существу, опять ... введением новых аксиом. Уже к концу 90-х годов он предлагает (в письмах к Дедекинду) различать множественность (или совокупность) (Vielheit) и множество (Menge).

Не всякая множественность есть множество. Если «совместное бытие» всех элементов некоторой множественности (совокупности) можно «мыслить без противоречия», то мы говорим, — по Кантору, — что нам дано некоторое множество. В противном случае, мы можем говорить только о множественности или неконсистентной совокупности. Например, именно таков случай, когда мы рассматриваем «совокупность всего мыслимого».

Или множества всех множеств, не являющихся элементом самого себя из парадокса Рассела. Собственно говоря, теория множеств в своей содержательной части действительна только для множеств, а не для любых совокупностей. Но как же практически определять, будет ли совокупность консистентной или нет? На основании чего мы можем утверждать, что множественности, которым приписываются даже первые кардинальные числа — a 0 (мощность любого счетного множества), a 1, ..., a n — являются консистентными? Ответ Кантора определенен и ...

неубедителен: утверждение о консистентности этих множеств есть «аксиома обобщенной трансфинитной арифметики»[yyyyy] . Но опять, не является ли постулирование подобных свойств для бесконечности ничем не оправданной «навязчивостью» в отношении этого таинственного «объекта»? Любопытно заметить, что вместе с признанием существования неконсистентных совокупностей рушилась одна из основных интенций теории множеств.

Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но в конце концов это оказалось в принципе невозможным. Например, вся совокупность ординалов (участвующая, в частности, и в парадоксе Бурали-Форти) является неконсистентной...