На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом. Другим очень неприятным казусом был парадокс Бурали-Форти.

Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b . Этот тип b должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако, по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы, тем самым, приходим к противоречию: b > b .

Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда падало также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей). Кантор пытался уйти от парадоксов, связанных с, так сказать, «очень большими» множествами, по существу, опять ... введением новых аксиом. Уже к концу 90-х годов он предлагает (в письмах к Дедекинду) различать множественность (или совокупность) (Vielheit) и множество (Menge).

Не всякая множественность есть множество. Если «совместное бытие» всех элементов некоторой множественности (совокупности) можно «мыслить без противоречия», то мы говорим, — по Кантору, — что нам дано некоторое множество. В противном случае, мы можем говорить только о множественности или неконсистентной совокупности. Например, именно таков случай, когда мы рассматриваем «совокупность всего мыслимого».

Или множества всех множеств, не являющихся элементом самого себя из парадокса Рассела. Собственно говоря, теория множеств в своей содержательной части действительна только для множеств, а не для любых совокупностей. Но как же практически определять, будет ли совокупность консистентной или нет? На основании чего мы можем утверждать, что множественности, которым приписываются даже первые кардинальные числа — a 0 (мощность любого счетного множества), a 1, ..., a n — являются консистентными? Ответ Кантора определенен и ...

неубедителен: утверждение о консистентности этих множеств есть «аксиома обобщенной трансфинитной арифметики»[yyyyy] . Но опять, не является ли постулирование подобных свойств для бесконечности ничем не оправданной «навязчивостью» в отношении этого таинственного «объекта»? Любопытно заметить, что вместе с признанием существования неконсистентных совокупностей рушилась одна из основных интенций теории множеств.

Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но в конце концов это оказалось в принципе невозможным. Например, вся совокупность ординалов (участвующая, в частности, и в парадоксе Бурали-Форти) является неконсистентной...

«Теория множеств, — пишет чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу»[zzzzz] . Драматические события истории «приручения» актуальной бесконечности в науке почти насильственно вызывают в памяти классическую дихотомию христианского богословия: апофатический и катафатический путь познания Бога. Катафатическое (от греч.

k a t a j a t i k o V — утвердительный) богословие описывает Бога так, как Он нам является в откровении. Здесь Богу подобают имена — Мудрость, Любовь, Благость и т.д., взятые в превосходной степени. Однако в своей природе, в своей сущности Бог остается трансцендентным и непостижимым. Бог неименуем в своей глубине и путь приближения к нему есть путь христианской мистики.

Соответствующее этому богословие называется апофатическим (от греч. a p o j a t i k o V — отрицательный). «Путь негативный, апофатический стремится познать Бога не в том, что Он есть (т.е. не в соответствии с нашим тварным опытом), а в том, что Он не есть», — пишет[aaaaaa] В.Н.Лосский. Путь этот состоит в последовательности отрицаний: исключается все тварное, все тварные качества, включая и «небеса», т.е. ангельский мир.

Далее исключаются самые возвышенные атрибуты: благость, любовь, мудрость, — т.к. Бог выше и всего этого. И наконец, бытие, ибо Бог, как источник самого существования выше и бытия. Остается лишь мистический опыт неизреченного предстояния Живому Богу, лицом к Лицу... Эта традиционная богословская дихотомия как-бы отзывается эхом и в научных интерпретациях бесконечности.

Исторически традиционный, «консервативный» подход к бесконечности, укорененный еще в греческой античности, именно «апофатический». Отказываясь рассматривать актуально бесконечное, признавая только потенциальную бесконечность, мы как-бы остаемся «по эту сторону» от бесконечности, рассматриваем ее только с точки зрения конечного. Спекулятивные же построения с актуально бесконечным есть уже «катафатика»: мы претендуем познать бесконечное в самом себе.

Вся сложность в том, что бесконечность, действительно, нам в некотором смысле, «дана». Кантор справедливо писал[bbbbbb] , что если мы признаем потенциальную бесконечность, то мы должны признать и актуальную. Актуальная бесконечность представляет собой как-бы «вместилище», в котором разворачивается ряд потенциальной бесконечности[cccccc] и это вместилище должно быть уже актуально данным.

Мы «видим» это вместилище как-бы «боковым зрением»; точнее говоря, мы не можем «видеть» этого вместилища как отдельный «объект», потому что мы сами есть его часть, грань между субъектом и объектом оказывается здесь снятой... Кантор прав, что нам дано это «объемлющее вместилище», однако каким должен быть «способ передвижения» по нему — вопрос сложный и спорный...