Однако, последние конечны и сами по себе не могут символизировать высшую реальность. Поэтому нужно специальным образом подойти к геометрическим фигурам, ввести новые методы их преобразований, характерно порывающие с традицией Евклидовой геометрии. «Если мы хотим воспользоваться конечным как примером для восхождения к максимуму просто, то надо, во – первых, рассмотреть конечные математические фигуры вместе с претерпеваемыми ими изменениями и их основаниями; потом перенести эти основания соответственно на такие же фигуры, доведенные до бесконечности; в – третьих, возвести эти основания бесконечных фигур еще выше, до простой бесконечности, абсолютно отрешенной уже от всякой фигуры [курсив мой – В.К.]»[tttttt] .

Такова программа своеобразной «апофатики» Николая из Кузы: «Только тогда наше незнание непостижимо осознает, как нам, блуждающим среди загадок, надлежит правильнее и истиннее думать о наивысшем»[uuuuuu] . Практически, кардинал Николай рассматривает преобразования геометрических фигур, при которых их элементы становятся бесконечными: круг (шар)

бесконечного радиуса, треугольники с бесконечными сторонами и т.д. Так, если мы будем увеличивать радиус круга до бесконечности, то кривизна окружности ( в любой ее точке) будет стремиться к нулю. И в пределе, окружность бесконечного радиуса «минимально крива» и совпадает с бесконечной прямой, которая «максимально пряма»[vvvvvv] . Это служит иллюстрацией того как абсолютный минимум совпадает с абсолютным максимумом.

Аналогично, Кузанец показывает, что бесконечная прямая есть, одновременно, и максимальный треугольник, и максимальный круг, и максимальный шар. Максимальные же треугольник, круг и шар символизируют, согласно Кузанцу, христианскую Троицу, Божественное единство, актуальность Божественного бытия, соответственною. Из рассмотрения геометрических свойств фигур, перенесенных «на бесконечность», делаются далее и определенные богословские выводы.

Так, например, из отношения треугольника к другим многоугольникам делается вывод о том, «что в Боге не может быть четверицы…»[wwwwww] Богословские спекуляции Николая из Кузы еще не были новой наукой, новой математикой. Но они постепенно легитимировали использование в математике трансфинитных преобразований, приучали обсуждать парадоксальные свойства бесконечно больших и бесконечно малых величин и подготавливали, тем самым, открытие методов дифференциального и интегрального исчислений. §2.

Бесконечность и возникновение математического анализа в XVII столетии Философские и богословские спекуляции о бесконечности всегда подталкивали математику к попытке научного воплощения идеи бесконечного. С XIII по XVI столетия таких попыток было немало[xxxxxx] . Однако, только к XVII веку они, более или менее, увенчались успехом: были изобретены методы дифференциального и интегрального исчислений (математический анализ).

К ним разные ученые шли разными путями, эти методы были отнюдь не сразу и не всеми приняты, их логическое обоснование затянулось почти на три столетия, — однако, эффективность этих методов сделала их к XVIII веку одним из основных средств теоретической и прикладной математики. Существенно, что все споры касательно обоснования этих новых математических приемов упирались, главным образом, в одно: использование в них актуальной бесконечности.

Эти методы, в частности, позволяли решать классические задачи о проведении касательной и максимуме функции. Так, П.Ферма (1601 – 1665) при решении этих задач использует бесконечно малые величины. Он исходит из того, что если величина e достаточно мала, то f (x +e ) приближенно равно f (x ). Если f (x ) – полином, то разность f (x +e ) – f (x )

будет делиться на e и, полагая его равным нулю, Ферма получает из этого частного то, что на языке сегодняшней математики называется производной[yyyyyy] . В Кэмбридже И.Барроу (1630-1677) в своих «Геометрических лекциях» прямо рассматривает бесконечно малый «характеристический треугольник», составленный из «бесконечно малой дуги» кривой, которая в силу бесконечной малости совпадает с отрезком прямой (касательной)

, и ее проекциями на оси Ox и Oy — e и a , соответственно. Эти e и a также суть бесконечно малые. На основании этого Барроу пишет следующее «псевдоравенство» f (x +e ,y +a ) = f (x ,y ). Если f (x ,y ) – многочлен, то после сокращения и опускания членов в этом уравнении, содержащих степени e и a большие, чем первая, — так как в силу бесконечной малости e и a их степени еще более малы, — мы получаем однородное уравнение первой степени по e и a , откуда можно найти отношение a /e , т.е.

тангенс угла наклона касательной к кривой к оси Ox[zzzzzz] . Спорными и непонятными здесь были именно две вещи: «псевдоравенство», в котором приравнивались друг другу две различные вещи, и отбрасывание членов со степенями a и e начиная со второй, т.е. практически, опять приравнивание двух различных выражений на основании того, что они отличаются на бесконечно малую величину: A = A + α (

где α – бесконечно малая величина). И.Ньютон (1642-1727) справедливо считается одним из творцов дифференциального и интегрального исчислений. Он хотел уйти от использования бесконечно малых величин в анализе. «Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых [бесконечно малых – В.К.], но так как само представление неделимых грубовато, то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предложил сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений…», — писал Ньютон в своих «Началах»[aaaaaaa] .

Ньютон шел от геометрической, — а не числовой! – интуиции величины. Геометрическая величина у него «течет»: линии описываются движением точки, поверхности – движением линий, объемы – движением поверхностей, углы – вращением сторон и т.д. Само ньютоновское название непрерывно изменяющейся величины связано с этой интуицией – «флюэнта», от лат. fluenta – течение, поток.

С геометрически – механической интуицией непрерывно изменяющейся величины связана и другая характеристика: «флюксия» — скорость изменяющейся величины. «Флюксии относятся почти как приращения флюэнт, произведенных в равные и крайне малые частицы времени, или точнее говоря, находятся в первом отношении зарождающихся приращений. Однако, их можно представить любыми пропорциональными им линиями»[bbbbbbb] .