Эти методы, в частности, позволяли решать классические задачи о проведении касательной и максимуме функции. Так, П.Ферма (1601 – 1665) при решении этих задач использует бесконечно малые величины. Он исходит из того, что если величина e достаточно мала, то f (x +e ) приближенно равно f (x ). Если f (x ) – полином, то разность f (x +e ) – f (x )

будет делиться на e и, полагая его равным нулю, Ферма получает из этого частного то, что на языке сегодняшней математики называется производной[yyyyyy] . В Кэмбридже И.Барроу (1630-1677) в своих «Геометрических лекциях» прямо рассматривает бесконечно малый «характеристический треугольник», составленный из «бесконечно малой дуги» кривой, которая в силу бесконечной малости совпадает с отрезком прямой (касательной)

, и ее проекциями на оси Ox и Oy — e и a , соответственно. Эти e и a также суть бесконечно малые. На основании этого Барроу пишет следующее «псевдоравенство» f (x +e ,y +a ) = f (x ,y ). Если f (x ,y ) – многочлен, то после сокращения и опускания членов в этом уравнении, содержащих степени e и a большие, чем первая, — так как в силу бесконечной малости e и a их степени еще более малы, — мы получаем однородное уравнение первой степени по e и a , откуда можно найти отношение a /e , т.е.

тангенс угла наклона касательной к кривой к оси Ox[zzzzzz] . Спорными и непонятными здесь были именно две вещи: «псевдоравенство», в котором приравнивались друг другу две различные вещи, и отбрасывание членов со степенями a и e начиная со второй, т.е. практически, опять приравнивание двух различных выражений на основании того, что они отличаются на бесконечно малую величину: A = A + α (

где α – бесконечно малая величина). И.Ньютон (1642-1727) справедливо считается одним из творцов дифференциального и интегрального исчислений. Он хотел уйти от использования бесконечно малых величин в анализе. «Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых [бесконечно малых – В.К.], но так как само представление неделимых грубовато, то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предложил сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений…», — писал Ньютон в своих «Началах»[aaaaaaa] .

Ньютон шел от геометрической, — а не числовой! – интуиции величины. Геометрическая величина у него «течет»: линии описываются движением точки, поверхности – движением линий, объемы – движением поверхностей, углы – вращением сторон и т.д. Само ньютоновское название непрерывно изменяющейся величины связано с этой интуицией – «флюэнта», от лат. fluenta – течение, поток.

С геометрически – механической интуицией непрерывно изменяющейся величины связана и другая характеристика: «флюксия» — скорость изменяющейся величины. «Флюксии относятся почти как приращения флюэнт, произведенных в равные и крайне малые частицы времени, или точнее говоря, находятся в первом отношении зарождающихся приращений. Однако, их можно представить любыми пропорциональными им линиями»[bbbbbbb] .

Английский ученый настойчиво противопоставлял свой метод нахождения отношений возникающих и исчезающих количеств методу неделимых. Для этого были серьезные философские резоны: непонятен был статус неделимых бесконечно малых. Как для античной мысли, так и для XVII столетия, — так и для нас сегодня! – остается непонятным: что это такое за число α , которое можно и добавлять к равенству, и опускать A + α = A .

Как число может быть и равно нулю, и не равно одновременно?.. Ньютон говорил о пределах отношений приращений величин и этим был близок к сегодняшней концепции производной. Однако, в то же время, он признавал и научную легальность бесконечно малых и, порой, он пользуется приращениями своих «текущих» величин так, как будто эти приращения бесконечно малые.

«Подобное построение анализа посредством конечных величин и исследование первых и последних отношений нарождающихся и исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры. Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных, и бесконечно малых, которые представляют себе подобными исчезающим, также как и на фигурах, которые в методе неделимых обычно считают бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должною осторожностью [курсив мой – В.К.]»[ccccccc] .

Как видно из этой цитаты, Ньютон не отрицает, в принципе, возможности рассмотрения бесконечно малых фигур – т.е., по существу, речь идет о «построениях внутри точки», в духе того бесконечно малого треугольника, который рассматривал, например, Барроу[ddddddd] , — и лишь призывает быть здесь осторожнее. Актуальная бесконечность не пугает Ньютона, в этом смысле.

В работах великого английского ученого это подтверждается еще и другим его изобретением: методом бесконечных степенных рядов. В частности, Ньютон открыл знаменитый биноминальный ряд   и успешно применял его при решении многих задач математики и механики. Для натуральных m это выражение конечно и было уже известно («бином Ньютона»).

Ньютон открывает формулу для дробных и отрицательных m , применяя хитроумную интерполяцию. Но полной уверенности в справедливости этой формулы у него нет и он старается оправдать ее всеми другими доступными ему методами[eeeeeee] . Дело было в том, что еще более сложным чем вопрос о математической корректности этой формулы, был вопрос о ее логическом статусе: можно ли рассматривать бесконечные суммы?

Бесконечное суммирование по самому своему смыслу не может быть закончено, так что же тогда означает это выражение?.. Любопытно, что и при выводе этой формулы, и при обсуждении бесконечных рядов Ньютон постоянно обращается к аналогии с бесконечными десятичными дробями. «…Это учение о буквенных выражениях находится в таком же отношении к алгебре, — писал Ньютон, — как учение об обыкновенных дробях к обыкновенной арифметике.