Английский ученый настойчиво противопоставлял свой метод нахождения отношений возникающих и исчезающих количеств методу неделимых. Для этого были серьезные философские резоны: непонятен был статус неделимых бесконечно малых. Как для античной мысли, так и для XVII столетия, — так и для нас сегодня! – остается непонятным: что это такое за число α , которое можно и добавлять к равенству, и опускать A + α = A .

Как число может быть и равно нулю, и не равно одновременно?.. Ньютон говорил о пределах отношений приращений величин и этим был близок к сегодняшней концепции производной. Однако, в то же время, он признавал и научную легальность бесконечно малых и, порой, он пользуется приращениями своих «текущих» величин так, как будто эти приращения бесконечно малые.

«Подобное построение анализа посредством конечных величин и исследование первых и последних отношений нарождающихся и исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры. Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных, и бесконечно малых, которые представляют себе подобными исчезающим, также как и на фигурах, которые в методе неделимых обычно считают бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должною осторожностью [курсив мой – В.К.]»[ccccccc] .

Как видно из этой цитаты, Ньютон не отрицает, в принципе, возможности рассмотрения бесконечно малых фигур – т.е., по существу, речь идет о «построениях внутри точки», в духе того бесконечно малого треугольника, который рассматривал, например, Барроу[ddddddd] , — и лишь призывает быть здесь осторожнее. Актуальная бесконечность не пугает Ньютона, в этом смысле.

В работах великого английского ученого это подтверждается еще и другим его изобретением: методом бесконечных степенных рядов. В частности, Ньютон открыл знаменитый биноминальный ряд   и успешно применял его при решении многих задач математики и механики. Для натуральных m это выражение конечно и было уже известно («бином Ньютона»).

Ньютон открывает формулу для дробных и отрицательных m , применяя хитроумную интерполяцию. Но полной уверенности в справедливости этой формулы у него нет и он старается оправдать ее всеми другими доступными ему методами[eeeeeee] . Дело было в том, что еще более сложным чем вопрос о математической корректности этой формулы, был вопрос о ее логическом статусе: можно ли рассматривать бесконечные суммы?

Бесконечное суммирование по самому своему смыслу не может быть закончено, так что же тогда означает это выражение?.. Любопытно, что и при выводе этой формулы, и при обсуждении бесконечных рядов Ньютон постоянно обращается к аналогии с бесконечными десятичными дробями. «…Это учение о буквенных выражениях находится в таком же отношении к алгебре, — писал Ньютон, — как учение об обыкновенных дробях к обыкновенной арифметике.

Поэтому тот, кто знаком с десятичной и с буквенной арифметикой и кто учитывает аналогию, существующую между десятичными числами и бесконечно продолжающимися алгебраическими выражениями, сможет тогда легко изучить сложение, вычитание, деление, умножение и извлечение корней. Ибо то, что случается с числами, именно, что чем дальше они отступают вправо, тем больше убывают в десятичном отношении, то же имеет место и для букв, когда они, как это всего чаще будет в дальнейшем, расположены в бесконечную однородную прогрессию по степеням какого – либо числителя или знаменателя [курсив мой – В.К.]»[fffffff] .

Другими словами, бесконечные ряды могут быть приняты уже лишь потому, что мы принимаем бесконечные десятичные дроби… Но здесь следует заметить, что в конкретных вычислениях применялись всегда десятичные дроби лишь с конечным числом знаков, хотя, в принципе, и со сколь угодно большим. Казалось, что можно рассмотреть и бесконечную десятичную дробь, но… оставалось одно препятствие: как понимать эту бесконечную сумму, выраженную бесконечной дробью, если бесконечная сумма и означает повторяющуюся последовательность действий, которая никогда не может быть завершена?..

Строгого обоснования статуса этих дробей нужно было еще ждать долго, до второй половины XIX века… Хотя, действительно, ко времени Ньютона десятичные дроби все уверенней входили в математический «быт» Европы, тем не менее, великий ученый лукавил, когда пытался обосновать технику бесконечных рядов ссылкой на десятичные дроби: и для тех, и для других смысл бесконечной суммы оставался непонятным и действия с ними – правдоподобными, но до конца необоснованными[ggggggg] … И в том , и в другом случае речь шла об актуальной бесконечности, и как перейти к ней от конечного – оставалось непонятным. Г.В.

Лейбниц, с его более философским умом, лучше понимал принципиальный характер этой трудности. При обосновании своего варианта дифференциального исчисления он также пытался, временами, толковать дифференциальные соотношения как то, к чему можно сколь угодно близко приблизиться конечными соотношениями[hhhhhhh] . Но все это не удовлетворяло его философскую совесть.

Лейбниц очень хорошо чувствовал, что этот «трансцезус» от конечного к актуально бесконечному не есть что – то само по себе очевидное, сводимое к старым математическим приемам, а есть принципиально новый метод, обоснование которого требует формулировки новых принципов математики. И философ предложил эти принципы и старался с помощью них оправдать построения дифференциального исчисления.

Одним из этих новых принципов являлось положение, которое я назвал в своей книге принципом законопостоянства. Лейбниц считал его «главнейшим принципом природы». В письме к королеве Пруссии Софии – Шарлотте немецкий философ следующим образом формулирует его: «Принцип этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь.

Иными словами, природа единообразна в том, что касается сути вещей, хотя и допускает разницу степеней большего и меньшего, а также степеней совершенства»[iiiiiii] . Специфика лейбницевских построений в дифференциальном исчислении состоит в том, что он как – бы применяет этот принцип и «на бесконечности», т.е. в бесконечно малых геометрических элементах, другими словами, «в точке» позволяется делать построения такие же как и в конечных областях: проводить отрезки, строить треугольники и, даже, устанавливать подобие этих бесконечно малых треугольников конечным… Это, однако, требует и особого понимания кривой линии.