Поэтому тот, кто знаком с десятичной и с буквенной арифметикой и кто учитывает аналогию, существующую между десятичными числами и бесконечно продолжающимися алгебраическими выражениями, сможет тогда легко изучить сложение, вычитание, деление, умножение и извлечение корней. Ибо то, что случается с числами, именно, что чем дальше они отступают вправо, тем больше убывают в десятичном отношении, то же имеет место и для букв, когда они, как это всего чаще будет в дальнейшем, расположены в бесконечную однородную прогрессию по степеням какого – либо числителя или знаменателя [курсив мой – В.К.]»[fffffff] .

Другими словами, бесконечные ряды могут быть приняты уже лишь потому, что мы принимаем бесконечные десятичные дроби… Но здесь следует заметить, что в конкретных вычислениях применялись всегда десятичные дроби лишь с конечным числом знаков, хотя, в принципе, и со сколь угодно большим. Казалось, что можно рассмотреть и бесконечную десятичную дробь, но… оставалось одно препятствие: как понимать эту бесконечную сумму, выраженную бесконечной дробью, если бесконечная сумма и означает повторяющуюся последовательность действий, которая никогда не может быть завершена?..

Строгого обоснования статуса этих дробей нужно было еще ждать долго, до второй половины XIX века… Хотя, действительно, ко времени Ньютона десятичные дроби все уверенней входили в математический «быт» Европы, тем не менее, великий ученый лукавил, когда пытался обосновать технику бесконечных рядов ссылкой на десятичные дроби: и для тех, и для других смысл бесконечной суммы оставался непонятным и действия с ними – правдоподобными, но до конца необоснованными[ggggggg] … И в том , и в другом случае речь шла об актуальной бесконечности, и как перейти к ней от конечного – оставалось непонятным. Г.В.

Лейбниц, с его более философским умом, лучше понимал принципиальный характер этой трудности. При обосновании своего варианта дифференциального исчисления он также пытался, временами, толковать дифференциальные соотношения как то, к чему можно сколь угодно близко приблизиться конечными соотношениями[hhhhhhh] . Но все это не удовлетворяло его философскую совесть.

Лейбниц очень хорошо чувствовал, что этот «трансцезус» от конечного к актуально бесконечному не есть что – то само по себе очевидное, сводимое к старым математическим приемам, а есть принципиально новый метод, обоснование которого требует формулировки новых принципов математики. И философ предложил эти принципы и старался с помощью них оправдать построения дифференциального исчисления.

Одним из этих новых принципов являлось положение, которое я назвал в своей книге принципом законопостоянства. Лейбниц считал его «главнейшим принципом природы». В письме к королеве Пруссии Софии – Шарлотте немецкий философ следующим образом формулирует его: «Принцип этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь.

Иными словами, природа единообразна в том, что касается сути вещей, хотя и допускает разницу степеней большего и меньшего, а также степеней совершенства»[iiiiiii] . Специфика лейбницевских построений в дифференциальном исчислении состоит в том, что он как – бы применяет этот принцип и «на бесконечности», т.е. в бесконечно малых геометрических элементах, другими словами, «в точке» позволяется делать построения такие же как и в конечных областях: проводить отрезки, строить треугольники и, даже, устанавливать подобие этих бесконечно малых треугольников конечным… Это, однако, требует и особого понимания кривой линии.

Так, провести касательную, по Лейбницу, значит «провести прямую, соединяющую две точки кривой, расстояние между которыми бесконечно мало, или же провести продолженную сторону бесконечного многоугольника, который для нас равнозначен кривой. А такое бесконечно малое расстояние можно всегда выразить с помощью какого – либо известного дифференциала… [курсив мой – В.К.

]»[jjjjjjj] Другим таким принципом был знаменитый лейбницевский принцип непрерывности. Лейбниц давал различные формулировки этого начала, приведем одно из них: «Когда случаи (или данные) непрерывно приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы в соответственных следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое»[kkkkkkk] .

Принцип непрерывности, один из главных архитектонических принципов Лейбница, есть инструмент отрицания всяческих пустот, «зияний» в пространстве, времени, в самом бытии. Этот принцип выступает началом тотального единства и «сплошности» всего сущего: всякое будущее оказывается непрерывно связанным с прошлым, является его развитием и, тем самым, уже содержится как семя в этом прошлом… С помощью принципа непрерывности дифференциальные соотношения в бесконечно малом треугольнике оправдывались как получающиеся «по непрерывности» из соотношений в конечных треугольниках при их безграничном уменьшении.

Опять, как и в случае принципа законопостоянства, свойства конечного переносились здесь «на бесконечность» — в бесконечно малое[lllllll] . Это было новой «метафизикой геометров», как называл это сам Лейбниц[mmmmmmm] . §3. Новый этап дискуссий об актуальной бесконечности в XVII –XVIII столетиях Эта легализация использования актуальной бесконечности в математике, столь дерзко нарушающая традиции античного понимания этой науки, принималась в XVII веке далеко не всеми, а тревожила почти всех.

Не облегчало положение и изобретение в этом же столетии Ж.Дезаргом проективной геометрии, прямо рассматривавшей бесконечно удаленные точки и прямые[nnnnnnn] . Декарт, к примеру, очень сдержанно относился к новым методам анализа и воздерживался от использования бесконечно малых. Философы, менее связанные цеховой солидарностью научного сообщества, были более решительны в своих критических высказываниях. Английский епископ Дж.

Беркли, создатель собственной философской системы, в нескольких своих сочинениях подверг резкой критике методы дифференциального и интегрального исчислений. Главный пункт критики – использование актуальной бесконечности, актуально бесконечно малых. Тонкий аналитик Беркли умело вскрывал неубедительность современных ему попыток оправдания инфинитезимальных методов.

«Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, — на это я отвечу: для того, чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен [курсив мой – В.К.]»[ooooooo] .