Так, провести касательную, по Лейбницу, значит «провести прямую, соединяющую две точки кривой, расстояние между которыми бесконечно мало, или же провести продолженную сторону бесконечного многоугольника, который для нас равнозначен кривой. А такое бесконечно малое расстояние можно всегда выразить с помощью какого – либо известного дифференциала… [курсив мой – В.К.

]»[jjjjjjj] Другим таким принципом был знаменитый лейбницевский принцип непрерывности. Лейбниц давал различные формулировки этого начала, приведем одно из них: «Когда случаи (или данные) непрерывно приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы в соответственных следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое»[kkkkkkk] .

Принцип непрерывности, один из главных архитектонических принципов Лейбница, есть инструмент отрицания всяческих пустот, «зияний» в пространстве, времени, в самом бытии. Этот принцип выступает началом тотального единства и «сплошности» всего сущего: всякое будущее оказывается непрерывно связанным с прошлым, является его развитием и, тем самым, уже содержится как семя в этом прошлом… С помощью принципа непрерывности дифференциальные соотношения в бесконечно малом треугольнике оправдывались как получающиеся «по непрерывности» из соотношений в конечных треугольниках при их безграничном уменьшении.

Опять, как и в случае принципа законопостоянства, свойства конечного переносились здесь «на бесконечность» — в бесконечно малое[lllllll] . Это было новой «метафизикой геометров», как называл это сам Лейбниц[mmmmmmm] . §3. Новый этап дискуссий об актуальной бесконечности в XVII –XVIII столетиях Эта легализация использования актуальной бесконечности в математике, столь дерзко нарушающая традиции античного понимания этой науки, принималась в XVII веке далеко не всеми, а тревожила почти всех.

Не облегчало положение и изобретение в этом же столетии Ж.Дезаргом проективной геометрии, прямо рассматривавшей бесконечно удаленные точки и прямые[nnnnnnn] . Декарт, к примеру, очень сдержанно относился к новым методам анализа и воздерживался от использования бесконечно малых. Философы, менее связанные цеховой солидарностью научного сообщества, были более решительны в своих критических высказываниях. Английский епископ Дж.

Беркли, создатель собственной философской системы, в нескольких своих сочинениях подверг резкой критике методы дифференциального и интегрального исчислений. Главный пункт критики – использование актуальной бесконечности, актуально бесконечно малых. Тонкий аналитик Беркли умело вскрывал неубедительность современных ему попыток оправдания инфинитезимальных методов.

«Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, — на это я отвечу: для того, чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен [курсив мой – В.К.]»[ooooooo] .

Беркли никак не мог согласиться с геометрическими построениями «в точке»: «…Точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным»[ppppppp] . Епископ – философ не хотел признавать никаких прагматических оправданий новых методов – эффективности, удобства и т.д.

Наука должна основываться на ясных принципах, которых он и не усматривал в новых математических методах. Построения с актуально бесконечными «принималось на веру», что было, по мнению Беркли, недопустимым: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке? Разве они не подчиняются авторитету, не принимают вещи на веру и не верят непостижимому?..

»[qqqqqqq] А если, несмотря ни на что, все-таки допускать подобные «верообразные» конструкции в науке, то разве не с большим уважением должны мы тогда относиться к религиозной вере: «Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке?»[rrrrrrr] Также критически относятся к включению актуальной бесконечности в число научных тем А.Арно и П.Николь в своей знаменитой «Логике».

Бесконечность для них тема, относящаяся к богословию, и применять к ней научный подход тщетно: «Наилучший способ сократить себе путь в изучении наук – не заниматься разысканием того, что выше нашего разумения и что мы не можем надеяться когда – либо понять. К этому роду принадлежат все вопросы, касающиеся могущества Божия, которое смешно пытаться объять нашим ограниченным умом, и вообще все, в чем есть бесконечность; ибо наш конечный ум в бесконечности теряется и слепнет, изнемогая под гнетом множества противоречивых мыслей, которые она вызывает»[sssssss] .

Те парадоксы, с которыми связано понятие актуальной бесконечности, — например, часть равна целому, бесконечная делимость пространства и времени, статус бесконечно малой и т.д., — показывают бессилие нашего ума понять бесконечное и рассмотрение их имеет, скорее, духовно – воспитательное, чем познавательное значение: «Польза извлекаемая из подобных умозрений, состоит не просто в том, что мы приобретаем познания, — эти познания сами по себе бесплодны.

Важнее то, что мы замечаем ограниченность нашего ума и заставляем его волей – неволей признать, что есть вещи, которые существуют, несмотря на то что он неспособен их понять. Поэтому имеет смысл утруждать ум подобными тонкостями, дабы умерить его самодовольство и навсегда отучить его противопоставлять свой слабый свет истинам, возвещаемым ему церковью, по тем предлогом, что он не может их понять»[ttttttt] .

И, наконец, в «Логике» в числе «некоторых важных аксиом, которые могут служить отправными положениями для выведения великих истин,» мы находим Аксиому девятую: «Конечный ум по природе своей не способен понять бесконечное»[uuuuuuu] . Б.Паскаль, сам внесший определенный вклад в создание дифференциального исчисления[vvvvvvv] , тем не менее, рассматривал бесконечное также, скорее, как границу человеческого познания, чем как его законный предмет.