Ученый был глубоко верующим человеком, хотя и достаточно неопределенной конфессиональной окраски[iiiiiiii] . Вера Кантора была так сильна, что он понимал свою деятельность по построению и пропаганде теории множеств как миссию, возложенную на него самим Богом. Причем, теория множеств как теория актуальной бесконечности понималась им именно как звено в развитии христианской мысли: «Только мною, – писал Кантор, — впервые предложено христианской философии истинное учение о бесконечном в его началах»[jjjjjjjj] .

Но именно потому, что Кантор глубоко осознавал вовлеченность философской и богословской тематики в вопросы, связанные с бесконечностью, он старался развести разные аспекты этой проблемы. Бесконечное в Боге (или бесконечность Бога) он называл Абсолютным (или Абсолютом) – этим занимается богословие и математика (наука) не должна ( и неспособна) этим заниматься.

Бесконечное в мире Кантор называл трансфинитным (Transfinitum ) – им занимается наука и, по – своему, богословие. И наконец, так называемое, «бесконечное in abstracto », бесконечное в человеческом разуме, теория трансфинитных чисел Кантора – им занимается математика. Не смотря на всю естественность этого разделения провести его на практике оказалось в высшей степени трудной задачей.

Так, непонятно было как доказывать существование актуально бесконечного в сотворенном мире – трансфинитного. Ведь, как мы знаем, начиная с древнегреческой философии, большинство философов и богословов были убеждены, что актуальная бесконечность не существует в мире ни в смысле числа, ни в смысле величины. Кантор пытался подойти к этому вопросу «от науки», выдвигая здесь некоторые программы применения его теории множеств в физике[kkkkkkkk] .

Но все это так и осталось только «прожектами», так никогда и не нашедшими своего научного воплощения… Другая возможность доказать существование трансфинитного – идти «от богословия». Кантор не раз указывал на знаменитое место из Библии, где говорится: «Вся мерою, числом и весом расположил еси» (Прем.Сол. XI , 21), и подчеркивал, что здесь не сказано конечным числом… В переписке с кардиналом Францелином Кантор пытался доказать существование трансфинитного богословски: исходя из понятия всеблагости и всемогущества Божия.

Однако, искушенный в богословских дискуссиях кардинал, сразу же указал ученому на опасность пантеизма, кроющуюся в подобной логике… Бесконечность Бога, Абсолютное – это было аксиомой богословия, но доказать автономное существование трансфинитного не удавалось. Не меньшие трудности были связаны и с трансфинитными числами, т.е. актуально бесконечным, существующим для нас в форме канторовской «бесконечной арифметики».

То, что актуально бесконечное, и даже, возможно, в разных степенях, существует в уме Бога – было общепринятым местом богословия. Но ясно, вообще говоря, что не все, понятное Богу, понятно нам; так есть ли у нас какая – то имманентная основа для уверенности в существовании трансфинитных чисел?.. У нас есть математическая теория этих чисел, — разве этого не достаточно, спрашивал Кантор.

По существу вопрос стоял о философском статусе научной теории, о философии математики и Кантор формулировал здесь свою позицию очень определенно: любая непротиворечивая теория, которую можно логически связать с уже существующим корпусом теорий, имеет право на существование в науке. Причем никакие «экстерналистские» соображения – генезиса, философского или богословского значения теории и т.д.

– не касаются ее истинности: «Ведь сущность математики заключается именно в ее свободе»[llllllll] . В свете такого понимания математики можно представить каким ударом было для Кантора открытие противоречий в его теории (так называемых «парадоксов теории множеств»). Одним из первых был «парадокс Бурали – Форти»: оказалось, что невозможно мыслить без противоречия все бесконечные числа как целое, всю шкалу ординалов Ω : ординал самой этой шкалы оказывался больше самого себя… Из обсуждений этого и других парадоксов теории множеств следовали важные выводы.

Во – первых, теории Кантора не удалось справиться с «дурной бесконечностью», не удалось обеспечить рассмотрение любой бесконечности как актуально данной. «Теория множеств, — пишет чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу»[mmmmmmmm] .

Во – вторых, выяснилось, что теория множеств кладет в свое основание в качестве аксиом в высшей степени проблематичные положения. Так, пытаясь устранить противоречия из своей теории, Кантор предложил рассматривать в ней только консистентные совокупности, что по определнию означает, что их можно мыслить как целое без противоречия. Только такие совокупности и следует называть множествами.

Однако, как бы могли мы это доказать в отношении конкретных бесконечных множеств?.. Как можем мы доказать, что, даже, самое простейшее бесконечное множество, множество натуральных чисел {1, 2, 3, …} консистентно, спрашивал Дедекинд. Это мы принимаем в качестве аксиомы, отвечал Кантор[nnnnnnnn] . Однако, никаких достаточно убедительных оправданий в пользу этой аксиомы привести не представлялось возможным.

Аналогично обстояло дело и с так называемой аксиомой выбора, резонность которой при всей простоте ее формулировки невозможно было установить, что и приводило к тому, что многие математики не соглашались ее использовать[oooooooo] . В 1963 году была окончательно доказана независимость аксиомы выбора от других аксиом теории множеств Цермело – Френкеля.

Тем самым оказалась легализованной возможность рассматривать теории множеств без аксиомы выбора или с заменой ее на другие, что и было вскоре сделано. Получающиеся на основе этих альтернативных теорий множеств конструкции континуума и математического анализа оказались в высшей степени экзотичными. Наряду с этим, было выяснено, что теория множеств есть неполная теория.