По существу вопрос стоял о философском статусе научной теории, о философии математики и Кантор формулировал здесь свою позицию очень определенно: любая непротиворечивая теория, которую можно логически связать с уже существующим корпусом теорий, имеет право на существование в науке. Причем никакие «экстерналистские» соображения – генезиса, философского или богословского значения теории и т.д.

– не касаются ее истинности: «Ведь сущность математики заключается именно в ее свободе»[llllllll] . В свете такого понимания математики можно представить каким ударом было для Кантора открытие противоречий в его теории (так называемых «парадоксов теории множеств»). Одним из первых был «парадокс Бурали – Форти»: оказалось, что невозможно мыслить без противоречия все бесконечные числа как целое, всю шкалу ординалов Ω : ординал самой этой шкалы оказывался больше самого себя… Из обсуждений этого и других парадоксов теории множеств следовали важные выводы.

Во – первых, теории Кантора не удалось справиться с «дурной бесконечностью», не удалось обеспечить рассмотрение любой бесконечности как актуально данной. «Теория множеств, — пишет чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу»[mmmmmmmm] .

Во – вторых, выяснилось, что теория множеств кладет в свое основание в качестве аксиом в высшей степени проблематичные положения. Так, пытаясь устранить противоречия из своей теории, Кантор предложил рассматривать в ней только консистентные совокупности, что по определнию означает, что их можно мыслить как целое без противоречия. Только такие совокупности и следует называть множествами.

Однако, как бы могли мы это доказать в отношении конкретных бесконечных множеств?.. Как можем мы доказать, что, даже, самое простейшее бесконечное множество, множество натуральных чисел {1, 2, 3, …} консистентно, спрашивал Дедекинд. Это мы принимаем в качестве аксиомы, отвечал Кантор[nnnnnnnn] . Однако, никаких достаточно убедительных оправданий в пользу этой аксиомы привести не представлялось возможным.

Аналогично обстояло дело и с так называемой аксиомой выбора, резонность которой при всей простоте ее формулировки невозможно было установить, что и приводило к тому, что многие математики не соглашались ее использовать[oooooooo] . В 1963 году была окончательно доказана независимость аксиомы выбора от других аксиом теории множеств Цермело – Френкеля.

Тем самым оказалась легализованной возможность рассматривать теории множеств без аксиомы выбора или с заменой ее на другие, что и было вскоре сделано. Получающиеся на основе этих альтернативных теорий множеств конструкции континуума и математического анализа оказались в высшей степени экзотичными. Наряду с этим, было выяснено, что теория множеств есть неполная теория.

В ней существуют высказывания, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в языке самой этой теории. Одним из таких положений является как – раз знаменитая континуум – гипотеза, выдвинутая Кантором. Но более того, теория множеств оказалась непополняемой теорией, т.е. никакое добавление новых аксиом не делает ее полной теорией. Суммируя, можно сказать, что тот теоретико – множественный универсум, который ввела в науку теория множеств, оказался «слишком велик», чтобы человеческое мышление могло в нем как – то ориентироваться… В – третьих, через введение в рассмотрение неконсистентных совокупностей Кантор, по всей видимости, разрушал те перегородки между наукой и богословием, которые он сам же и возводил.

Объявляя шкалу трансфинитных чисел Ω неконсистентной, Кантор уходил от парадокса Бурали – Форти, но тем самым делал эту совокупность в высшей степени таинственным объектом. Почему в отличии от других математиков Кантора не пугала неконсистентность Ω , являющаяся препятствием для реализации основного конструктивного импульса создателя теории множеств: сделать «трансфинитный шаг», рассмотреть любой процесс как актуально законченный?..

Исследователь обращают внимание на близость канторовской неконсистетной шкалы Ω и его же понятия Абсолюта, бесконечности в Боге. Один из самых авторитетных исследователей творчества Кантора, американский историк и философ Дж.Даубен считает: «В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной «истинной бесконечности», величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания»[pppppppp] .

Шкала трансфинитных чисел оказывается, в этом смысле, своеобразной интеллектуальной лестницей, возводящей «на Небо», в иное онтологическое измерение… И тем самым, канторовская теоретическая конструкция пробивает брешь в возведенной им же самим стене между математикой, чисто интеллектуально занимающейся трансфинитными числами, и богословием, нацеленным на Абсолют не только умственно – спекулятивно, но и через религиозную практику… Кантор справедливо отмечал, что в некотором смысле, данность нам актуальной бесконечности несомненна.

Если мы признаем существование потенциальной бесконечности, то ведь ей нужно где – то «разворачиваться», нужно иметь некоторое «пространство», некоторую «область» становления. «Но сама эта «область» не может быть опять – таки чем – то переменным, ибо в противном случае наше исследование не имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта «область» представляет собой некоторое определенное актуально бесконечное множество значений [курсив мой – В.К.]»[qqqqqqqq] .

Можно согласиться с тем, что эта актуально бесконечная область каким – то образом нам дана и каким – то «боковым» умственным зрением опознается нами. Однако, трудно говорить о ней как об определенном актуально бесконечном множестве, это уже есть следствие некого выбора рассмотрения, некоторых гипотез, отнюдь не очевидных и далеко не обязательных… Кантор правильно говорил, что эта актуально бесконечная «область» нам дана, но предложенный им способ, так сказать, «умственного передвижения» по ней был далеко не бесспорен… Вся история научного освоения понятия актуальной бесконечности показывает его тесную связь с историей богословия.

Не только чисто генетически именно с пришествием христианства входит концепция бесконечного в сферу ключевых вопросов европейской мысли, наряду с такими концепциями, как свобода, творение, вечность, бессмертие, ничто. Но как показывает вся трагическая «научная Одиссея» создателя теории множеств, всякое углубление научного обсуждения концепции актуальной бесконечности с неизбежностью поднимает и фундаментальные философско – богословские вопросы.