А.Ф.Лосев

С.Я.Лурье, затративший столько времени на поиски теории бесконечно малых у греческих атомистов, удивительным образом совершенно обходится без понятия предела. И метод исчерпывания у Евдокса, и метод исчерпывания у Евклида и Архимеда{11} С.Я.Лурье ухитряется излагать без всякого намека на теорию предела.

Поэтому не только основной труд С.Я.Лурье, о котором мы говорили выше, но и его книга об Архимеде страдает одним принципиальным недостатком, а именно неясностью конечных выводов. Интересно, что у С.Я.Лурье имеется даже целая глава, проводящая аналогию с нашей современной математикой и, в частности, с учением о кратных интегралах. Но, во-первых, здесь тоже нет ни слова ни о пределе суммы бесконечно малых приращений, ни вообще о пределе. Во-вторых, сам же С.Я.Лурье аннулирует свою аналогию атома Демокрита с двукратным интегралом следующими словами: "Но эта аналогия не полная и не очень плодотворная"{12}. У С.Я.Лурье имеется также целая глава о значении Архимеда в истории математики{13}.

Но в этой главе излагаются взгляды многочисленных ученых, древних и новых, по этому вопросу; а как сам автор расценивает это значение, остается неизвестным.

Наконец, относительно понятия предела нельзя возражать указанием на отсутствие соответствующего термина у Евдокса, Демокрита, Евклида или Архимеда. Ведь термин "бесконечно малое" тоже отсутствует у этих мыслителей.

И тем не менее С.Я.Лурье считает должным ввести этот термин даже в заглавие своей книги. Нужно твердо помнить, что все эти инфинитезимальные представления вовсе не содержатся у названных мыслителей буквально. Их мы домысливаем только сами же, чтобы уяснить сущность дела. Если же угодно гоняться даже и за терминами, то тогда придется считать основателем античного инфинитезимализма вовсе не этих мыслителей, но Платона.

д) Подлинным основателем учения о бесконечно малых и о континууме является Платон, который сейчас и будет нами обсуждаться. Но справедливость заставляет сказать, что было еще одно имя периода Сократа и Платона, с которым необходимо связывать раннюю и не философскую, не критическую, а еще только чисто фактическую эпоху античного учения о континуальном приближении к пределу. Именно, был софист Антифонт, который, между прочим, выступает у Ксенофонта среди собеседников Сократа. У этого Антифонта, как гласят очевиднейшие источники (B 13D), прямо имеется рассуждение о совпадении с окружностью круга, вписанного в этот круг многоугольника при достаточно большом увеличении числа его сторон. Едва ли тут было какое-нибудь философское обоснование учения о бесконечно малых. Вероятно, это было у Антифонта покамест еще примитивным и только чисто математическим соображением. Чисто философская проблема в этой области в отчетливой форме ставится только у Платона.

е) Принцип континуального становления не в математической, но в принципиально философской форме в яснейшем виде установлен Платоном. В "Тимее" (47e - 53c) мы находим учение о первичной материи (термин "материя" тут пока отсутствует), которая совершенно лишена всяких качеств и является сплошным и нераздельным становлением. А то, что такого рода становление формулируется Платоном и для мира идей, то есть для самого разума, это мы уже говорили выше (часть пятая, глава II, §4, п. 7).

В результате всего этого, если иметь в виду категориальную точность, то подлинным основателем античного учения о бесконечно малых необходимо считать, как сказано, не Анаксагора и не Демокрита, а именно Платона. Наконец, у Платона в "Филебе" (ИАЭ II 265 - 274, ср. также таблицу на с. 679) имеется даже и соответствующая терминология ("предел", "беспредельное" и "смешанное").

Здесь мы, однако, должны сказать, что платоновские термины "предел", "беспредельное" и "смешанное" нужно еще уметь расшифровать.

Именно, платоновский термин peras хотя и можно перевести как "предел", это вовсе не есть предел в нашем смысле слова. Мы понимаем под пределом какую-то такую постоянную величину, расстояние которой от той переменной величины, которая к ней приближается, может стать менее любой заданной величины. У Платона это, собственно говоря, не предел, но, скорее, "граница". В "Тимее" (55c) этот термин употребляется в рассуждениях о границе космоса, а в "Софисте" (252b) говорится о сведении элементов к ограниченному числу (eis peras). Но еще яснее этот платоновский термин выступает в "Пармениде", где прямо говорится, что "конец и начало образуют предел (peras) каждой вещи" (137d) и что предел (peras) есть то целое, что охватывает части (145a). Другими словами, обычный перевод данного платоновского термина как "предел" чрезвычайно неточен. Это даже и не есть просто "граница". Это такая граница, которая не только отделяет одну вещь от другой, но которая и внутри самой вещи отграничивает одну ее часть от другой части. Правильный перевод был бы "раздельность" или "расчлененность". И поэтому, когда мы приписываем Платону учение о математическом пределе, мы имеем в виду вовсе не термин peras, в котором нет никакого намека на такую переменную величину, которая бесконечно и непрерывно стремится к определенной постоянной величине, приближаясь к ней как угодно близко.

Следовательно, наше понятие предела нужно связывать вовсе не с платоновским термином "предел", а с терминами "беспредельное" и "смешанное".

Это "беспредельное" не только квалифицируется у Платона как то, что противоположно раздельности ума и потому является "блуждающей" или "беспорядочной причиной" (Tim. 46e, 48a). В противоположность всегда самотождественному принципу это другой принцип, когда имеется в виду принцип "рассеянного в возникающих и бесконечно разнообразных вещах и превратившегося во множество" (Phileb. 15b) или просто "беспорядочность", ataxia (Tim. 30a). Яснее же всего об этой беспредельности говорится там, где удовольствие, в отличие от упорядоченного ума, трактуется как беспорядочное становление, в котором нет ни начала, ни середины, ни конца (Phileb. 31a). Таким образом, если мы говорим, что именно у Платона имеется учение о континуально-сплошном становлении, то самым ярким доказательством этого является платонический термин apeiron.

Но мало и этого. Дело в том, что так называемое "смешанное" уже по самому своему названию свидетельствует о наличии в нем как расчлененной единораздельной цельности, так и континуально-непрерывного становления. В данном случае речь идет у Платона, очевидно, о сплошном и непрерывном переходе одной части целого к другой его части, так что такое прерывно-непрерывное целое является уже пределом в современном математическом смысле слова, то есть пределом суммы бесконечно малых приращений, происходящих внутри того целого, частями которого они являются.

Итак, то, что именно Платон является в античности основателем терминологически зафиксированного учения о бесконечно малых, можно считать, доказанным.

ж) Ни Платону, ни Аристотелю не повезло в смысле признания за ними предчувствия теории бесконечно малых. Из Платона прежде всего излагают его учение об идеях, а из Аристотеля - прежде всего учение о форме и материи.

Но обыкновенно очень мало обращают внимания на то, что и у того и у другого мыслителя имеется весьма осязательная попытка мыслить бесконечно малое и связанное с этим учение о континуально-сущностном становлении, то есть о континууме.

Чтобы соблюсти параллелизм между Аристотелем и Платоном в данном вопросе, укажем на такие категории Аристотеля, как единое и беспредельное.

О едином у Аристотеля имеется обширное рассуждение в "Метафизике" (V 6). Кто проштудирует эту главу, тот убедится в правильности нашей характеристики Аристотеля как платоника, но только дистинктивно-дескриптивного характера. В этой главе даются очень тонкие дистинкции, которые даже трудно формулировать в систематическом виде. Непрерывность, как и у Парменида, трактуется здесь в качестве разновидности единого. Но в этом тексте (1016a 4 - 6) дается покамест еще слишком узкое определение непрерывности: "Название непрерывной дается той вещи, у которой движение, если ее взять как таковую, одно и иначе [чем одно] быть не может; движение же бывает одно у той вещи, у которой оно неделимо, при этом неделимо - во времени". Таким образом, непрерывность определяется здесь как такое единое, которое остается самим собою в движении вещи, когда движение этой вещи неделимо во времени.