Страница 151 из 254
Число есть, следовательно, некоторый прототип, идеальная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно отличный от других таких же организмов — чисел. И не без основания Платон почти отождествил свои идеи с пифагорейскими числами, а неоплатоники слили те и другие с богами:
То, что ты в Космосе видишь, есть только
божественный отблеск,
А над богами царит сущее вечно Число[1987]*
Светом правильного понимания числа обязана новая наука Георгу Кантору[1988]* Он рассматривает «целые числа» и порядковые типы как универсалии, которые относятся ко множествам и получаются из них, когда делается абстракция от состава элементов. Каждое множество вполне отличных друг от друга вещей можно рассматривать, как некоторую единую вещь для себя, в которой рассматриваемые вещи представляют составные части или конститутивные элементы. Если делают абстракцию как от состава элементов, так и от порядка, в котором они даны, то мы получаем количественное число‚ или мощность множества; здесь мы имеем общее понятие, в котором элементы, как так называемые единицы (Einsen), срастаются известным образом в такое органическое, единое целое, что ни один из них не представляет какого‑нибудь иерархического преимущества перед другими элементами.
Если вышеуказанный акт абстракции совершается над некоторым данным, упорядоченным в одном или нескольких отношениях (измерениях) множеством, — лишь в отношении состава элементов, так что их взаимный порядок сохраняется и в том общем понятии, которое образует таким образом некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой — в одном или нескольких отношениях — определенный взаимный порядок, то мы получаем благодаря этому такое universale, которое я называю вообще типом порядка‚ или идеальным числом‚ а в частном случае вполне упорядоченных множеств — «порядковым числомТаким образом, «количественные числа, как и типы порядка, представляют простые абстрактные образования; каждое из них есть истинное единство (μονάς), потому что в нем воедино связано множество и многообразие единиц (Einsen). Если нам дано множество М, то элементы его следует представлять себе раздельными. В умственном же отображении его, которое я называю его типом порядка, единицы соединены в один организм. В известном смысле можно рассматривать каждый тип порядка, как некоторый compositium[1989]* из материи и формы. Заключающиеся в нем абстрактно отличные единицы дают материю, между тем как существующий между ними порядок соответствует форме».
Евклид «рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множестве, к которому он его относит. По крайней мере в евк- лидовском определении не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно существенно для него». «Мы должны поэтому представлять себе под л–кратным типом порядка идеальный образец (paradigma) я–кратно упорядоченного множества, как бы /2–мерное целое действительное число, т. е. некоторое логически, органически–единое соединение единиц, упорядоченных в η различных и независимых друг от друга отношениях, которые здесь нужно называть направлением» [1990]*.
Если бы теория кратко–протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выражалось бы сложнейшее строение объектов природы, и познанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие. Но однако, не этот круг вопросов служит сейчас предметом нашего внимания.
IV
Тип порядка и мощность множества логически различны; но не следует думать, будто этим логическим различием можно пренебречь хотя бы в практическом пользовании; так обстояло бы лишь при взаимооднозначном соответствии мощности и типов порядка. Но этого соответствия нет, и данная мощность принадлежит не одному, а многим типам порядка.
В соотношении типов кратных это очевидно; бесспорно это также и в отношении типов простых, но трансфинитных; даже типы множеств благоустроенных, — порядковые числа, — от их мощностей, — чисел количественных, — должны быть различаемы вовсе не только в порядке отвлеченно–логическом. Дело в том, что лишь в отдельных случаях парными перестановками элементов два множества различного строения, но одинаковой мощности могут быть сделаны подобными друг другу, т. е. приведены в конформное соответствие; следовательно, вообще говоря, они не подводятся под порядковое число.
Таковы множества трансфинитные. Им резко противополагаются множества конечные, относительно которых различение порядковых и количественных чисел признается имеющим значимость только принципиально логическую: каждому количественному числу соответствует, согласно общему убеждению, одно, и только одно, порядковое.
Это убеждение предполагает всегдашнюю возможность перевести всякое конечное множество последовательными парными транспозициями из одного порядка во всякий другой.
Ведь дело здесь идет не о связи между собою понятий, уже установленных, а о свойствах действительности, a priori неустановимых: множество есть конкретное содержание различных отвлекаемых от него универсалий, точка приложения умственных операций, и потому мы не можем заранее из всякого возможного будущего опыта исключить свойства, логическая немыслимость которых отнюдь не доказана.
В нашем случае, логически нет оснований утверждать, будто всякое строение конечного множества может быть преобразовано во всякое другое парными перестановками элементов. Натур–философски же естественно думать о формах конечных множеств, как о неприводимых друг к другу, качественно различных между собою, хотя бы они и подводились под одно и то же количественное число.
Может быть, с этой точки зрения следовало бы пересмотреть вопросы молекулярной, атомной и, вероятно, электронной дисимметрии, т. е. в плоскости числа, а не пространства; биология, в частности вопросы наследственности, где существенным признается число хромосом, теория мутаций и т. д., в будущем признает необходимостью воспользоваться обсуждаемым кругом понятий.
Но как бы то ни было, а естествоиспытателю никак не может представляться самоочевидным, будто два конечные множества одной мощности тем самым и подобны между собой. Счет есть последовательная установка соответствия между единичными элементами множества и последовательными числами натурального ряда. Следовательно, в результате счета получается число порядковое, но отнюдь не количественное. Но ни из чего не видно, что, сосчитывая два равные по количеству множества, мы непременно получим в обоих случаях одно и то же порядковое (не количественное — повторим) число; о возможности же всегда, при равных мощностях, получать один и тот же кратный тип порядка — говорить тем более не приходится.
V
Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические калькуляции алгебры или теории чисел мы соотносим со счетом в действительности: повидимому, редко задумываются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому конкретному множеству. Да мы и не знаем, как можно перейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными.
А между тем, мы не обладаем непосредственной интуицией мощности и, следовательно, не способны обозначить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обозначено, число должно быть расчленено; а без расчленения есть не более как хаотическое множество, неопределенность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответственное членение), утверждает порядок множества. А потому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая, — мы никогда не получим количественного числа — непременно порядковое или тип порядка. Всякая система счисления расчленяет множество, на том или другом основании, причем возможны и даже отчасти применяются системы счисления с основанием переменным (таковы все системы мер, разве что за исключением метрической).