Страница 152 из 254
В алгебре и в теории чисел вопроса об изображении числа по системе того или другого основания просто не существует, и лишь по старой памяти где‑то мимоходом делается заметка о системах счисления. Но это так потому, что в названных дисциплинах обсуждаются числа количественные, и применимость найденного к действительным множествам никогда не становится предметом внимания. Но теоретико–познавательно и психологически невозможен числовой ряд без системы счисления. Счет в его отношении к действительному множеству подразумевает числовой ряд, а в числовом ряде — и принцип его установки — систему счисления.
Сосчитать — значит изобразить число: множество не изображенное — в числовом смысле и не познано, не сосчитано. Изображенность числа не есть, следовательно, только психологический костыль арифметики, без которого она обошлась бы, хотя и менее удобно, — не есть внешняя одежда арифметического понятия, одеваемая на число ради удобства и благопристойности, но существенно входит в самый акт числового познания: она необходима.
Мы привыкли к мысли об изобразимости одного и того же числа (т. е. количественного) по разным системам. Слишком привыкли, считаем выбор системы почти безразличным. Может быть, в каких‑либо отношениях она и в самом деле не имеет решающего значения, но тем не менее не должно быть забываемо, что конкретный счет имеет дело с числами порядковыми, а два числа, хотя бы и одной мощности, но изображенные в разных системах, отличаются друг от друга своим членением — имеют разную форму и далеко не отожде- ствимы между собой. Раз дело идет о порядковых числах, то написание их по разным системам — дает не одно и то же число.
Указывались неоднократно преимущества той или другой системы для счета тех или иных множеств; так, исторически известны системы с основаниями: 60 — у вавилонян, 20 — у ацтеков и кельтов, 6 и 12 — у различных народов, и т. д. Предлагались также фактори- альная нумерация, нумерация двоичная, четверичная, восьмиричная, двенадцатиричная и т. д.
Но по–видимому, еще никем не подчеркнута для системы счисления возможность:
либо следовать естественному расчленению сосчитываемых множеств данного ряда,
либо, напротив, насильственно перестраивать множества, уничтожая их собственное строение и вводя иное, им чуждое.
Соответственно избранная система счисления, — может быть, с переменным по тому или другому закону основанием, — позволяет самыми числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления; напротив, затемненность структуры изучаемого — во многих случаях должна быть вменена в вину непродуманно применяемой системе счисления.
Так, многие вопросы теории функций легко разрешаются при пользовании двоичной системой, равно как и вопросы символической логики, например у Буля[1991]*; системы с основанием 2п указывались как естественно наиболее пригодные в теоретико–музыкальных исследованиях, а с основанием 60 — в работах астрономических; седьмиричная система была бы пригодна во многих случаях календарного и историко–хронологического подсчета ит. д.
Если бы счет действительности производился правильно, т. е. без искажения структуры считаемого, а значит — по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, — прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, — конкретные, изображенные числа, — как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного. Эта задача расширяется также и на числа трансфинитные, на трансфинитные типы порядка, где самое основание системы счисления может быть трансфинитно; но острота вопроса — именно в этой изображенности числа, в его познавательной во- площенности, хотя бы оно и было сверх — конечным.
VI
Число изображенное, т. е. единственно возможное при счете число, почти не сделано темой исследования. Это звучит странно, но это так. Правда, в элементарноматематических журналах и развлекательно–математических книгах предлагаются и решаются задачки такого содержания. Но кажется, за ними никогда не было признаваемо значение большего, нежели — интеллектуальных игрушек. Решаются же эти задачи не методически, случайными уловками из других дисциплин.
Изображенное число не стало до сих пор предметом своей науки; первые же всходы таковой зачахли уже в древней Греции. Даже такая первоначальная потребность, как преобразование числа из системы в систему, не может быть удовлетворена непосредственно, путем подставки данного числа в некую формулу. Между тем, такое преобразование, помимо своего высокого теоретического интереса, было бы весьма полезно и практически, коль скоро мысль о надлежащем, сообразном случаю исследовании, выборе системы счисления утвердится в науке. Кстати сказать, ввиду этой именно потребности автором настоящей работы намечена схема счетного механизма, преобразователя чисел из системы одного основания — в систему другого; не составило бы затруднения придумать подобные механизмы, преображающие числа в системы оснований переменных.
Другой существенный вопрос, — о числовых инвариантах и прочих инвариантных образованиях, — кажется, даже не ставился. Переписывая число по новой системе, мы получаем собственно новое число: число, как таковое, не инвариантно в процессе преобразования системы счисления. Но однако, мы непосредственно чувствуем, что и новое — оно сохраняет какую‑то связь со старым; другими словами, мы не можем не думать о пребывании чего‑то в числе, когда основание системы подвергается группе преобразований. Возможно и необходимо поэтому задать себе вопрос:
что именно пребывает инвариантным у такой‑то совокупности чисел при преобразованиях основания таких‑то и таких‑то, включая сюда и введение оснований переменных.
С другой стороны, возникает и вопрос о том, у какой совокупности чисел или в отношении каких преобразований пребывают инвариантными заданные свойства. А далее, требуют ответа вопросы: о некотором закономерном изменении тех или иных свойств при тех или других преобразованиях основания и обратно;
о тех преобразованиях, или тех совокупностях чисел, при которых заданная закономерность изменения осуществится.
Наконец, аналогичные вопросы должны быть поставлены относительно:
тех или иных соотношений меҗцу собою пар или некоторых более сложных комбинаций чисел, ибо и эти соотношения могут быть инвариантными или изменяемыми закономерно при тех или иных преобразованиях и у той или иной совокупности чисел.
Этот круг вопросов, несколько напоминающих теорию алгебраических форм [1992]*, еще даже не ставился, хотя нетрудно предвидеть существенную необходимость этих и подобных вопросов в наступающем миропонимании, где числовая прерывность формы выступает характернейшею категориею мысли.
VII
В только что изложенном слегка намечены темы предлежащих изысканий, которых не обойти будущей науке и без которых не обойтись ей, уже пережившей глубочайший переворот. Но конечно, не эти большие задачи составляют предмет издаваемых набросков, хотя и они обращены к будущему. Их задача — сделать один из первых шагов к изучению числа, как формы, — указать хотя бы какие‑нибудь приемы, улавливающие внутренний ритм числа, его пифагорейскую музыку.
Электронное строение атома Бора и Резерфорда, конфигарции плавающих магнитов в опьггах А. М. Майе- ра, Р. В. Вуда, Деларива и Гюйи, в связи с явлением Бархгаузена, связь мутаций с числом хромосом — своего рода полимеризация вида — в исследованиях Моргана [1993]* и т. д. и т. д., все подобные вопросы перекликаются с результатами настоящей арифмологической работы, хотя сейчас и преждевременно устанавливать имеющиеся здесь соотношения более точно.
Два основных арифмологических алгоритма, разработанные здесь, — приведение чисел и повышение их, по- видимому, достаточно просты и чреваты последствиями, чтобы дать надежду на дальнейшие их успехи. Во всяком случае, будучи общими приемами исследования, они не идут мимо индивидуальности числа; и следовательно, в обсуждении числа, как формы, должны занять какое- то свое место. Кроме того, эти алгоритмы могут быть полезны и технике: например, в теории зубчатых механизмов вроде часов, астрономических и числительных приборов и других механизмов, передающих и преобразующих не большие количества энергии, а некоторые смысловые соотношения, знаки, сигналы.