Аксиома выражения в геометрии: геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений своего становления.

Эта формула непонятна только тем, кто не читал или не продумывал предыдущего изложения. Если фигура обсуждается не сама в себе, но в связи с тем пространством, где она осуществлена (в условии положенности его как самостоятельной категории), то это и значит, что построение одинаково принимает здесь во внимание и особенности фигуры как чистой фигуры вне всякого пространства, и особенности пространства как чистого пространства вне всякой фигурности. Это есть тождество внутренно–внешних направлений становления фигуры. Пусть данный угол деформируется в связи с продолжением сторон, из которых он состоит. Это значит, что по данной деформации мы сразу узнаем и о том, что за фигура имеется в виду и что за пространство ее воплощает.

b) Но выше были указаны и модификации этой общей геометрической выразительности. Они определяются тем, в каком виде входит в выражение необходимое для него внешнее становление. Если фигура как таковая бесповоротно утверждена предыдущими аксиомами, то ее выражение есть перекрытие ее новым слоем самостоятельно существующего пространства, и вот оно–то и может входить в разных видах. В геометрии Эвклида, как мы видели, пространство есть чистое и беспримесное становление, лишенное всякой кривизны. Тут кривизна всегда есть кривизна самих фигур, но не чистого бесформенного пространства. В пространстве Лобачевского оно есть не просто становление, но оно само перешло в становление. Это становление становления, давшее нам возможность обозреть становление (в то время как в пространстве Эвклида мы находим только неопределенную длительность). Однако это становление все же остается становлением самого же становления, что и дает возможность, обозревать нам его начала и концы, но не дает возможности обозревать его целиком. Для этого последнего надо, чтобы круговорот становления возвратился к себе так, чтобы мы видели его перед собою полностью. Надо, чтобы становление не только вернулось назад из неопределенной бесконечности, но чтобы отныне весь этот круговорот становления уже не уходил больше в бесконечность и оставался на наших глазах. Таково именно пространство Римана.

Отсюда и специальные аксиомы геометрической выразительности.

Аксиома геометрии Эвклида. Геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений самого становления, когда это внешнее становление дано в чистом и беспримесном виде.

Аксиома геометрии Лобачевского. То же — когда это внешнее становление перешло в свое собственное становление.

Аксиома геометрии Римана. То же — когда это внешнее становление, возвращаясь к себе, совершает свой круговорот в конечной области.

Можно эти аксиомы формулировать несколько иначе и в ином порядке, имея в виду определения кривых 2–го порядка, данные нами в § [ ]. Но этого мы не станем делать, чтоб не загромождать изложения.

4. Сказанного вполне достаточно, чтобы дать аксиоматическую установку для выразительной области геометрии. Но поскольку подобная теория проводится впервые, краткость всегда приведет к сухости, абстрактности и слишком большой общности. Поэтому попробуем войти глубже в диалектику эвклидова и обоих неэвклидовых пространств, привлекая на помощь также индуктивные данные.

а) Мы изучаем выразительное пространство. Выражение, являя внутреннее вовне, есть тождество внутреннего и внешнего. Внутренним является идеальная геометрическая фигура, т. е. тот ее чисто мысленный и отвлеченный образ, который мы еще никак и ничем не измеряем и о котором не знаем, какую форму он примет в реальном пространстве. Это реальное пространство и есть то внешнее, с чем внутреннее, т. е. идеальная фигура, отождествляется. Как же происходит это отождествление?

Будем покамест говорить о простейшем геометрическом образе — точке. Та точка, с которой мы до сих пор имели дело, вполне «идеальная». Она идеальная до того, что не имеет даже тех измерений, которые свойственны вообще разным фигурам. Может ли эта исключительная идеальность, доходящая до какой–то фантастической абстрактности, оставаться такой до конца? Этого не может быть уже потому, что реальные точки нашего опыта всегда имеют то или иное измерение. Это или чернильное пятнышко, или острие иголки и пр. А ведь геометрия должна осилить ^весь чувственный опыт,> если она хочет быть жизненной. Следовательно, эту фантастическую бесплотность точки надо превратить в живую плоть. И этим занимается выразительная геометрия.

b) Именно, точка, будучи «внутренним», «идеальным», «чистым» и т.д. образом, погружается во «внешнее», «реальное» становление с тем, чтобы отождествиться с ним. Но диалектическое отождествление предполагает отождествляемое неизменным. Поэтому, чтобы идеальная точка воплотилась в реальном становлении, необходимо, чтобы и становление стало идеальным, и идеальное стало становящимся. Чтобы становление стало идеальным, надо ему перестать быть растянутым, грузным, тяжелым инобытием. Оно должно стать легким и невесомым, как сама точка. Это значит, что такая выразительная точка сразу должна находиться во всех моментах своего становления. Становление не должно тут быть процессом, но оно должно быть таким же мгновенным, как и сама точка. С другой стороны, оно не может просто уничтожиться; диалектика требует, чтобы оно в этом новом синтезе и тождестве, в этом новом пространственно–выразительном символе оставалось самим собой. Это значит, что оно здесь абсолютно безразлично в себе и не занято никакой едино–раздельностью, как и полагается чистому меону. А это значил, что точке безразлично, в каком направлении двигаться, когда она переходит в становление; она всегда и при всяком случае остается самой собой, т. е. всегда сама тождественно находит себя в становлении, но уход в становление, т. е. от себя, тождествен возвращению из становления, т. е. к себе. Это значит, наконец, что она движется по замкнутой линии.

Итак, идеальность инобытия заставляет точку сразу быть во всех моментах своего пути одновременно, а инобы–тийность идеального заставляет точку иметь этот путь в виде замкнутой линии (скажем, окружности). Выразительная точка, следовательно, есть окружность, во всех моментах которой точка пребывает одновременно и неизменно.

Этот совершенно понятный язык можно пояснить еще и так. Идеальное — вневременно и внепроцессуально. Но оно может отождествляться с реальным. В таком случае оно охватывает все реальное, двигаясь по нему с бесконечной скоростью. Когда точка движется по своему пути с бесконечной скоростью, она сразу и одновременно находится во всех без исключения точках своего пути. Это и значит, что она сохранила в реальном свою идеальность. Выразительная точка поэтому тождественна с бесконечно большой окружностью, которая, однако, пройдена вся сразу в одно бесконечно малое мгновение.