1. Формально–логическая вычислительная система математики должна быть превращена в диалектическую систему, в систему диалектических категорий. При таком условии математика, разумеется, принимает совершенно неузнаваемый вид; и многое приходится расценить совершенно иначе, не так, как при обычном изложении математического материала. Будем помнить, что здесь мы совершенно не занимаемся математикой как таковой, но только философией, а именно философией математики.

Самое расположение материала нашей науки должно поэтому меньше всего следовать за расположением и системой чисто математического материала. Мы не раз будем убеждаться, что простое с математической точки зрения оказывается очень сложным в философском отношении, а то, что просто для философа, иной раз принимает исключительно сложный вид, если переводить это на язык математики. Поэтому необходимо взять принцип разделения математического материала не из математики, но из философии, из диалектики. Диалектика же обладает одним настолько простым и всеобъемлющим принципом разделения, что и обходить его и невозможно, и нет надобности. Это принцип триады. Конечно, диалектическое построение, как мы указывали раньше, может быть очень сложным, и триада может превратиться в тетрактиду, в пентаду и т. д. Но в целях ясности и удобства изложения ограничимся в данном случае пока только триадным делением. Оно вполне обеспечит нам полноту и внутренно–логическую последовательность системы.

Прежде всего триаду можно выразить, как мы знаем, тремя такими категориями: бытие — инобытие — становление (ставшее). Бытие есть первое полагание. Это первое полагание предмета, чтобы быть и, в частности, чтобы быть положенным, требует для себя чего–нибудь такого, от чего оно отличалось бы, т. е. требует инобытия, с которым оно имеет четкую и определенную границу. Иначе говорят, что бытие, или утверждение, требует для своего существования отрицания. Наконец, бытие и инобытие, утверждение и отрицание не могут оставаться в состоянии такой абсолютной противоположности; они должны быть поняты как единый акт, чтобы инобытие и отрицание не предполагалось как возникшее неизвестно откуда, но чтобы оно тоже было утверждено и понято в сознании. Синтезом бытия и инобытия, утверждения и отрицания, является становление, в алогическом процессе которого абсолютно слиты бытие и инобытие, присутствующие и в то же время отсутствующие в каждый момент становления, или, в дальнейшем, ставшее, т. е. результат становления, остановившееся становление. Некоторым видом этого ставшего — правда, чисто идеальным и смысловым видом — является граница, очер–ченность, в которой тоже совпадают утверждение и отрицание, поскольку граница сразу и одновременно и относится, и не относится и к ограничивающему, и к ограничиваемому. Ставшее можно понимать и как реально ставшее, т. е. как факт, как субстанцию, которая так же очерчена и закончена, как идеальная граница, только в смысле реальной положенности. Становление и ставшее одинаково являются синтезом бытия и инобытия; и часто нет нужды их особенно резко разделять (хотя тоже часто это разделение безусловно необходимо и требует очень субтильных наблюдений). Важно отметить, что если мы будем наблюдать технику синтезирования у Гегеля, то и у Гегеля синтезы имеют одинаково характер как становления, так и ставшего.

Итак, весь объем математического материала прежде всего распределяется на три большие области. И это первое разделение должно стать принципом существеннейшего разграничения, отчасти совпадающего с соответствующей диалектической классификацией математических наук. То, что выше было дано в фундаментальном анализе понятия числа, должно теперь рассматриваться нами как перво–принцип, перво–начало. Подобно тому как в общей теории числа всякой раздельности предшествует перво–акт, так точно и сейчас все число, взятое целиком, как вполне сформированная и осмысленная категория, должно стать перво–принципом для дальнейших разделений и оформлений. Мы должны забыть все конструкции, данные нами до сих пор и рисующие число как чистую категорию. Мы должны понять эту категорию числа как новую неразличимость и перво–акт и поставить задачу выявления того, что начинается и стоит под этим перво–актом. Это и приведет к детализации понятия числа, которая даст нам нужное распределение и разграничение математического материала. Ибо вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа.

2. Переходим к формулировке основных разделов философии числа, которых прелиминарно мы уже касались в § 9.

I. Перво–акт, переходя в реальный акт, делался пола–ганием, утверждением, бытием не вообще, но реально раздельным бытием. Точно так же и число. Число вообще, число как общая категория, прежде всего переходит в реальное полагание, в реально положенное число, в бытие числа. Число вообще, являясь отныне нашим перво–принципом, не есть теперь что–нибудь раздельное. Это такое бытие, которое выше всякого разделения и различения, вернее, сверх–число и потому сверх–бытие. Следовательно, можно такое положенное число назвать бытием числа. Еще раз напоминаем, что это не та положенность, о которой шла речь в фундаментальном анализе числа. Там шла речь о полаганиях, впервые только еще конструирующих самое понятие числа. Здесь же имеется в виду полагание цельного, окончательно сформированного числа; и термин «бытие» относится здесь не к частичным моментам, из которых состоит число, но к числу вообще, к цельному числу. Мы знаем, что такие общие установки, как бытие, инобытие, становление, наблюдаемы и проводимы как внутри каждой категории, так и в отношении каждой категории в смысле ее внешней судьбы.

К бытию числа в этом смысле относятся прежде всего натуральный ряд чисел и все арифметические операции над числом. Сюда же относятся также и модификации числа, возникающие в связи с выделением в нем элементов бесконечного процесса. Первое вместе с анализом основных типов числа является предметом арифметики и алгебры. Второе есть предмет математического анализа, т. е. дифференциального и интегрального исчисления вместе с его модификациями (напр., вариационное, или векторное, исчисление). Для всех этих математических наук характерно употребление или чистых арифметических чисел, или их специальных дублетов — функций, причем числа берутся как устойчивые, так и в своем переходе в переменные величины, в разных смыслах переменности — прерывной, непрерывной, конечной, бесконечной и пр.

Можно попробовать зафиксировать это единое числовое построение и терминологически. Оно есть прежде всего арифметически–алгебраически–аналитическое понятие и употребление числа. Но можно дать и одно общее название этой области, совмещая постоянство, переменность и пр. частные категории. Кажется, здесь был бы до известной степени удобен термин «интенсивное число». В понятии интенсивности совмещаются открытая и непосредственная значимость числа в арифметике, функциональная и символическая (буквенная) выраженность его в алгебре и анализе и конечно–бесконечные, непрерывно–прерывные процессы счисления.

II. Бытию противоположно инобытие, и утверждению числа должно быть противоположно отрицание числа. Но что может быть противоположно числу? И что, собственно, есть отрицание числа? Число — раздельность и устойчивая различенность прежде всего. Утверждение числа — утверждение этой раздельности и различенности, утверждение неразличенного числового инобытия. Инобытие вообще всегда есть, как противоположность бытию, неразличенность и алогическое протекание. Но тут не просто противоположность числу, а противоположность положенному числу. Следовательно, вся антитеза перенесена на почву дальнейшей ступени, которая по сравнению с чистым числом есть реальная угвержден–ность. Поэтому и противоположность утвержденному числу должна быть реально положена. Это реальная поло–женность числовой неразличенности, реальная утверж–денность инобытийно–числового безразличия.

Это то, что в математике называется континуумом. Тут, несомненно, диалектическая противоположность числу, и притом противоположность именно утвержден–ному числу. В то время как в недрах, т. е. внутри, утвержденного числа мы вст ретили такую категорию, как непрерывность, здесь, когда речь идет о специальном расширении утвержденного числа, о его инобытийном осуществлении, здесь уже недостаточно говорить о непрерывности, а надо говорить о континууме. Континуум есть именно реально положенная непрерывность, реальное утверждение непрерывного процесса.

Арифметически–алгебраически–аналитическое число есть та или другая степень чисто числовой раздельности. В таких науках, как векторно — [тензорное ] исчисление, число достигает огромной сложности в своих едино–раздельных структурах. Но вот мы достигаем вершины этого усложнения числовых раздельностей, и перед нами, стоящими на этой вершине, открывается необозримое поле темного безраздельного «пространства», где уже нет ничего живого и где все числовые утвержденносги слиты в один безразличный и алогический туман. Это и есть антитеза утвержденному числу. Это — континуум.

Континуум не остается тем пустым безразличием, каким он открывается с вершин числовых оформлений. Навсегда он остается безразличием только с точки зрения чистого числа. Но в нем возможны и необходимы различные оформления так же, как и везде, хотя и с обязательным учетом всего своеобразия этой области, где осуществляется оформление. В то время как в области чистого числа, например, раздельное полагание создает единицу, в области континуума раздельное полагание[117] [дает] точку. Один и тот же смысловой акт полагания дает в разных областях разные конструкции. Нужно только учитывать своеобразие области, где происходят акты полагания и единства[118], даже тождества, смысловых актов, которые происходят в этих областях. Тогда на основе континуума образуется особая система определенных структур, вполне параллельная системе арифметически–алгебраически–аналитических функций числа.

Эта система есть геометрия в разных ее видах и формах, т. н. элементарной, проективной, аналитической, дифференциальной, многомерной и пр.

Такое число, пребывающее в своем инобытии, уже не есть просто число. Но для единства терминологии назовем и эти континуальные и геометрические построения сферой числа, но только экстенсивного числа. Число в своем инобытии, число вне себя есть экстенсивное число.