Нечего и говорить о том, что никакая логика, даже самая правильная, никогда не угонится за непосредственным опытом. Постулируя, напр., что прямая имеет по крайней мере две точки, он должен постулировать наличие трех, четырех и т. д. точек, потому что, как хорошо знает с самого начала всякий интуитивно, любая прямая содержит бесконечное количество точек. Но Гильберт этого «не знает». А тогда мало сказать, что прямая содержит по крайней мере две точки, так как отсюда еще вовсе не вытекает, что прямая содержит три точки. Если для Гильберта наличие двух точек на прямой еще не вытекает из самого факта прямой и приходится по этой причине выставлять особый постулат о двух точках, то из наличия двух точек формально тоже вовсе еще не вытекает наличие трех, а из наличия трех не вытекает наличие четырех точек на прямой. Другими словами, опять–таки, только написавши бесконечное количество аксиом, можно было бы охарактеризовать прямую как она есть. Да, впрочем, и самой бесконечности тут не хватило бы, потому что никакая бесконечность точек все равно не может составить одной прямой. Но эта нелепость всегда была там, где рассудок садится на место интуиции.

Наконец, совершенно неудовлетворительно у Гильберта и понимание всего этого раздела аксиом как аксиом сочетания (Verknupfung). Если прямая определяется двумя различными точками, плоскость — тремя точками не на одной прямой, то Гильберт напрасно думает, что тут имеются в виду просто сочетания элементов (если «сочетание» не есть просто условный заголовок этого разряда аксиом). Прямая, плоскость и пространство вовсе не есть сочетание точек. Как бы мы ни «сочетали» точки, мы никогда не получим даже прямой, не говоря о всех прочих измерениях. И если бы мы захотели всерьез назвать ту категорию, под которой существуют все эти аксиомы, мы сначала 1) столкнулись бы с тем фактом, что точка везде абсолютно тождественна самой себе, в каком бы виде мы ее ни брали. Затем 2) мы увидели бы, что точки все могут быть разными (или, обывательски говоря, могут «находиться в разных местах»); они — различны. Наконец, это самотождественное различие точки 3) не может тут браться во всей своей смысловой чистоте, ибо в таком случае мы понимали бы точки не как точки, но как отвлеченные арифметические единицы и вместо прямой из двух точек мы имели бы только отвлеченную арифметическую двойку. Надо это самотождественное различие погрузить в инобытие, т. е. надо, чтобы различие стало безразличием, а самотождество стало постоянным самопротивоположением. Тогда мы получаем самопротивополагающееся безразличие, т. е. алогическое становление, а это и делает впервые возможным перейти от арифметики к геометрии, от числа к пространству, т. е. впервые дает возможность сплошным образом соединить две различающиеся точки. Пусть у нас имеются две различные точки. Это еще не значит, что у нас есть прямая, так как тут пока только чисто арифметическое, отвлеченно–смысловое самотождественное различие точек. Но вот мы представили себе, что эти две точки переходят одна в другую в порядке самопротивополагающейся (или в каждый момент все новой и новой) неразличимости, т. е. в порядке инобы–тийной структуры самотождественного различия точек. Тогда это значит, что мы от одной точки к другой проведем прямую, т. е. впервые получим самую прямую, ибо между нашими двумя точками появилась целая бездна различных точек, но все они не отличны одна от другой.

И вот этот сложнейший диалектический процесс конструирования прямой из точек Гильберт хочет перепрыгнуть одним глупым словечком «сочетание».

Общую установку для диалектического получения основных геометрических элементов читатель найдет ниже, в § 55.3, 4.

§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.

1. Множество отличается от простого арифметического числа инобытийным гипостазированием входящих в него единиц или — в дальнейшей идее упорядоченности, что и модифицирует принцип самотождественного различия вполне своеобразно, совсем не арифметично и совсем не геометрично. В арифметическом числе все единицы и тождественны, и различны, и во множестве все элементы тождественны и различны. Но во множестве каждый элемент еще заново отличается от другого элемента; тут как бы различные единицы. И понимать это надо не в том смысле, что эти единицы только различны, а в том, что они, будучи и различными, и тождественными, одновременно положены в инобытии, так что самотождественное различие оказывается здесь положенным в инобытие (как в геометрии), хотя это инобытие (в отличие от геометрии) мыслится здесь только числовым образом. Каждая единица оказывается здесь как бы меченой, откуда подобное инобытийное гипостазирование и является зародышем идеи порядка, перво–принципом упорядочивания. Таким образом, в глубине самого понятия множества лежит нечто, указующее на то, что принципиально всякое множество может быть мыслимо как упорядоченное и даже как вполне упорядоченное.

Во множестве отдельные единицы различны; и при этом говорится, что не важно, чем они различны: значит, тут играет роль сама категория различия. Но единицы эти также и тождественны между собою: значит, имеется в виду самотождественное различие. Наконец, поскольку единицы самотождественно различны и во всяком арифметическом числе, приходится искать спецификум еще в другом. А это и есть инобытийное полагание самотождественного различия, но без геометрической простран–ственности этого инобытия.

2. Однако необходимо остановиться на самой идее порядка ввиду неясностей, царящих в самой теории множеств. Основной логической невязкой в этом вопросе является то, что обычно множество определяют без помощи понятия инобытийного гипостазирования. Эти «определения» обычно сводятся к словесной тавтологии: множество — это множество. Мало того, существует термин «упорядоченное множество» и даже «вполне упорядоченное множество», хотя тут же существует утверждение, что всякое множество можно представить как вполне упорядоченное множество. Это обычная неясность у математиков, подавляющее большинство которых совершенно не имеет никакой логической школы ума. И она весьма затрудняет понимание математического материала, заставляя верить не формулировкам и не словесным (главным образом буквенным и вообще значковым) нагромождениям, но лишь конкретному исследованию и шаг за шагом прослеживать способы манипуляции над данным числовым материалом.

а) В вопросе об упорядоченности множеств и получается такая невязка: множество вполне определяется без момента инобытийной положенное числа, а тем не менее еще до введения этого момента уже пускаются в ход такие методы, которые имеют смысл в условиях упорядоченности. Именно, различаются понятия мощности и типа множества. Мощность множества — это то, что обще всем эквивалентным между собою множествам; тип есть то, что обще всем подобным между собою множествам. Что же такое эквивалентность и подобие? Одно множество эквивалентно другому, если элементы одного могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с элементами другого множества. Подобно же одно множество другому тогда, когда оба они «могут быть наложены друг на друга». Наложение же выставляется как возможное только в случае, когда взаимно однозначное соответствие между элементами обоих множеств связано с относительным порядком каждой пары элементов того и другого множества. Отсюда мы вправе сделать вывод, что эквивалентность, т. е. взаимно однозначное соответствие, мыслится здесь вне принципа взаимоналожения и подобия, т. е. вне принципа упорядочивания. Спрашивается, в чем же, собственно говоря, два множества могут быть эквивалентными? Идеи порядка элементов нет; следовательно, остаются элементы, абсолютно изолированные друг от друга. Но что же тогда значит взаимно однозначное соответствие? Это может значить только вот что: мы берем один элемент из первого множества; потом берем другой элемент из первого множества, забывая о первом его элементе (ибо отсутствие порядка есть отсутствие фиксируемой последовательности и, стало быть, полный ее разрыв), и сопоставляем [21] с каким–нибудь другим элементом из второго множества; так же поступаем с двумя третьими, четвертыми и т. д. элементами вплоть до полного их исчерпания. Когда все исчерпано и одно множество оказалось соответствующим другому, мы говорим: два множества эквивалентны. Другими словами, в эквивалентности (и, значит, в мощности), как эта категория устанавливается в теории множеств, нет ровно никакого иного соответствия, кроме чисто количественного, голого арифметического. Одно множество соответствует другому — это значит в таком понимании только то, что арифметическое количество элементов одного в точности равняется количеству элементов другого множества и мощность есть просто количество. Правда, нередко тут же говорят, что это в конечных множествах мощность ничем не отличается от количества, а в бесконечных множествах они представляют собою совсем разные вещи. Но такое утверждение логически может иметь только тот смысл, что всякое множество есть обязательно бесконечное множество, потому что конечное множество есть просто самое обыкновенное число, и нет никакой нужды вводить новые и неясные термины в область, известную хорошо уже всякому школьнику.

b) Итак, теоретики множества ошибаются, когда думают, что множество можно определить вне категории инобытийно–числового гипостазирования. Они ошибаются тут точно так же, как и тогда, когда думают, что возможно какое–то множество вообще и что не всякое множество может быть мыслимо вполне упорядоченно. С точки зрения беспристрастной логики, т. е. для чистой мысли, только и может существовать вполне упорядоченное множество, и никакое другое. Все прочее есть только абстрактные моменты, которые, конечно, необходимо изучать каждый в отдельности, памятуя, однако, что всякий абсолютный отрыв этих моментов от цельного понятия множества грозит провалом самого предмета, что и происходит, когда, отрывая множество от идеи порядка, просто покидают сферу теории множеств и переходят в обычную, я бы сказал, пошлую арифметику.

c) С другой стороны, мы тут же должны отметить, что, несомненно, есть полный смысл в том, чтобы вводить в теорию множеств понятие мощности и эквивалентности, отличая их как от чисто арифметических конструкций количества и равенства, так и от дальнейших построений в теории множеств относительно типов и подобия. Только вводить их надо не так, как это делается обычно. Систематическое изложение всех этих вопросов мы проводим в соответствующем отделе нашего исследования; здесь же скажем только несколько слов—для того чтобы оправдать понимание всякого множества как потенциально упорядоченного множества, да и то сделать это целесообразно только при разъяснении аксиомы подвижного покоя (§ 52).

Вопрос сводится, к разным диалектическим ступеням упорядочивания. Математики думают, что упорядочивание может быть разным только в смысле различия частей множеств, с каковой точки зрения «вполне упорядоченным» множеством называется такое, каждая часть которого имеет «первый элемент». Но понимать так упорядочивание— это значит то же самое, как если в геометрии вместо различия вида кривых проводили бы только различие в их длинах. С диалектической точки зрения существует несколько форм более глубокого упорядочивания, являющихся формами не самих упорядоченных множеств, но формами самой категории их упорядочивания (§ 52. 4). К числу этих форм принадлежит и то упорядочивание, которое при взаимном сравнении множеств порождает из себя картину эквивалентности и категорию мощности. В данном месте мы только запомним, что всякое множество так или иначе связано [с ] инобытийно–числовым гипостазированием, т. е. потенциально с идеей порядка. Интересует же нас здесь совсем не самое упорядочивание (это всецело относится к области проявления категории подвижного покоя), но, высказывая что бы то ни было о множестве, нужно помнить, что множество (в особенности конечное) только и отличается от обыкновенного арифметического числа идеей инобытийно числового полагания.

3. Имея все это в виду, как ответить на вопрос о проявлении категории самотождественного различия в области множества?

Множество есть число, возвратившееся из инобытия к самому себе. Арифметическое число есть просто число. В нем не положено никакого различия между ним самим как бытием и каким–нибудь инобытием, которое было бы внешним в отношении него. Число по своему смыслу есть вследствие этого то же, что и число по своему бытию, т. е. по актам своего полагания. Сколько раз случился акт полагания, столько единиц мы фиксируем и в числе. Его смысловое, т. е. в данном случае количественное, содержание находится в полном соответствии с его бытийным содержанием; и даже нельзя сказать, что тут происходит «соответствие». Соответствовать одно другому может тогда, когда эти взаимно соответствующие предметы как–то отличны друг от друга. В арифметическом же числе не положено самого различия между его смыслом и его фактом. И это понятно, потому что различие между тем и другим предполагает переход чистого смысла в инобытие. А число арифметическое есть чистый смысл.