Итак, первый аргумент Аристотеля против прерывной счислимости гласит: прерывная счислимость немыслима потому, что всякое число можно представить как сумму других, более мелких чисел; а так как все числа считаются между собою несчислимыми, то несчислимость будет, через эти более мелкие числа, введена и в сферу каждого числа; и тогда, кроме того, еще окажется неизвестным, как же из этих разнокачественных мелких чисел составляются одно–качественные крупные числа.

Подвергнуть этот аргумент критике нетрудно. Уже Кирхман (II 267, прим. 1196) вполне основательно заметил, что, поскольку каждое идеальное число мыслится у платоников качественно своеобразным, оно ни в каком случае не может быть разложено ни на какие составные части, и десятка ни в каком случае не может составляться из двух пятерок. Напрасно Аристотель «делит» десятку–в–себе на две пятерки. Делить можно только арифметические числа. Идеальная же десятка, при всей своей арифметической счетности, содержит в себе еще некое качество, которое уже ни из каких единиц не состоит и даже вообще не обладает характером счетности; это качество вполне индивидуально и своеобразно. Поэтому «деление» его немыслимо. Следовательно, аргумент о противоречии счислимости и несчислимости внутри числа отпадает окончательно. Вместе с тем отпадает и необходимость решать вопрос, из каких, собственно, пятерок составляется десятка. Если десятку брать так, как берут ее критикуемые Аристотелем платоники, то она совсем ни из каких пятерок не состоит. Если же ее брать так, как берет Аристотель, т. е. чисто арифметически, то самый вопрос теряет смысл: арифметически есть только одна десятка и одна пятерка и дважды пять всегда будет равно десяти, какие бы эпитеты ни приписывались пятеркам и десяткам. Следовательно, основой критики Аристотеля и здесь остается невнимание к феноменологическому своеобразию платонических чисел.

2) Второй основной аргумент касается, по–видимому, не специально прерывной счислимости, а относится вообще к идеальным числам. Его даже трудно назвать аргументом Это есть, собственно говоря, перечисление того, как нельзя понимать отношение арифметического числа к идеальному, откуда является вывод о том, что идеальных чисел вообще не существует. Именно, а) отношение это можно было бы представлять по типу отношения эпитетов «белого» и «человека» к «белому человеку» (1082а 17—18). По–видимому, Аристотель имеет здесь в виду отношение акциденции к субстанции. Если считать, что «белый человек» — субстанция, то можно сказать, что эта субстанция участвует и в «белизне», и в «человечности». Действительно, хотя арифметическое и «участвует» в идеальном или они вообще одно в другом участвуют, все же отношение между ними никак не есть отношение субстанции и акциденции. b) Это отношение, говорит далее Аристотель, нельзя понимать и как отношение рода и вида. Идеальное число, конечно, не есть род в отношении арифметического числа, как есть род, например, «животное» или «двуногое» в отношении «человека» (19—20). Наконец, отношение идеального и арифметического числа не есть ни один из видов физико–химического смешения; оно не есть ни соприкосновение, ни смешение, ни объединение по пространственному положению (20—22). Это совсем неприложимо к идеальным и арифметическим числам, не обладающим никакой физической природой. Жаль, что Аристотель не развил этих аргументов. Он прав, что ни какое–нибудь формальнологическое отношение, ни вещественно–физическое отношение не может претендовать на то, чтобы принять его в качестве подлинного взаимоотношения идеального и арифметического числа. Но платоники в этом с ним только согласятся. То же отношение, которое они считают подлинным, Аристотель даже и не затрагивает в этом кратком перечне возможных отношений. Аристотель прибавляет тут только одно, ничего нового не привносящее замечание. Он говорит, что раз мы не считаем, что для двух человек нужна какая–то особая их сущность или субстанция, как именно двух, так и идеальная двойка совершенно излишня по сравнению с двойкой арифметической. Скажут: но ведь тут мы имеем дело с неделимыми целыми, в то время как два человека и «человеки» вообще делимы. Это, однако, не есть возражение, говорит Аристотель. Геометрические точки тоже неделимы, а пара их тоже не имеет никакой идеальной пары рядом с собою (22—27). Тут мне прежде всего не совсем понятно, почему указание на неделимость могло бы служить возражением. По–видимому, это нужно понимать так, что рядом с двумя физическими вещами нельзя представить себе новую физическую же сущность этих двух; рядом же с двумя физически неделимыми, т. е. логическими, моментами, например единицами, такую идеальную двойку можно представить. Если это понимание правильно, то ответ Аристотеля говорит слишком мало, потому что точка все же достаточно идеальна, чтобы мы могли представить себе некую пару точек, имеющую тот или иной вид, причем вид этот как таковой может быть свободно отделен от самого количества «двух».

3) Третий аргумент также, пожалуй, не имеет прямого отношения к прерывной счислимости; по крайней мере это отношение не выявлено тут в словах. Но есть возможность интерпретировать его как аргумент против прерывной счислимости. Тут Аристотель выдвигает в идеальном числе момент предшествия и последствия; именно, идеальные числа находятся в определенной последовательности, так что имеются предшествующие и последующие числа. Но если так, то предшествующее, говорит Аристотель, должно быть для последующего идеей. Так, Двоица — идея для всех чисел, ею порождаемых. Однако из идей могут появиться только идеи. Где же тогда тут числа? Идея или состоит из идеи же — тогда мы не сможем вывести из Двоицы (например) прочих двоек, входящих в четверку, восьмерку и т. д.; или идея состоит из того, что само по себе не есть уже идея, — тогда выведение чисел из Двоицы возможно (случай, недопустимый с точки зрения платонизма). Аристотель «поясняет» это примером, который только затемняет дело; но распутать его можно. Платоники, говорит он, рассуждают тут так, как если бы кто–нибудь, ссылаясь на то, что «живое существо» есть некая идея, стал бы доказывать, что эта идея разлагается на ряд идей, из которых каждая тоже есть идея «живого существа» (1082а 26—Ы). — Понять весь этот аргумент можно, только раскритиковавши его. Аристотель думает, что порождение «предшествующими» числами «последующих» противоречит само себе. Если Двоица есть некая идея, то выводимая из нее четверка есть тоже идея, и, значит, она уже не число; а если она — число, то Двоица — не идея. Ошибочность этого заключения становится еще более ясной, если весь аргумент выразить таким способом. Существует идея человека. Но «человеки» бывают разные: есть русские, немцы и т. д. Отдельные народы происходят из области или в области «человеков». Значит, русские, немцы и т. д. не есть люди. Или: вы не то, что я; я — человек; следовательно, вы — не человек. Четверка — не то, что Двоица; Двоица — идея; следовательно, четверка не есть идея. Это слишком известная ошибка силлогизма.

Аргумент этот, по–видимому, находится в серии аргументов против прерывной счислимости чисел. Нельзя ли дать ему интерпретацию в этом направлении? По–видимому, можно. «Предшествующее» число — идея «последующего». Значит, «последующее» уже не идея, не неделимая идея, оно — «сложно», т. е. неоднородно. Отсюда вывод: наличие «предшествующих» и «последующих» чисел противоречит их внутренней однородности и счислимости. По–видимому, такой именно смысл имеют неясные слова: «То, идеями чего они, [«предшествующие» числа], являются, будет сложно» (1082а 36—37).

4. Четвертый аргумент: в идеальной десятке платоники находят единицы взаимно безразличными и счисли–мыми; но безразличие и равенство есть одно и то же; значит, в десятке все единицы равны между собою, т. е. равны они и вне десятки, и просто — взятые как таковые (1082b 1 —11). — Здесь непонятно, почему Аристотель заговаривает о тождестве «безразличия» и «равенства». И без этого отождествления он мог бы рассуждать, пользуясь только понятием безразличия. Платоники говорят, что десятка несчислима, например, с пятеркой или двойкой, различна с ними. Но ведь пятерка и двойка входят в самую десятку. Следовательно, «различие» вносится тем самым и в сферу десятки; и десятка вопреки предположению оказывается внутри себя несчислимою и «различною». Это — повторение аргумента № 1 (1082а 1—7). Едва заметный оттенок вносится только тем, что там Аристотель критиковал прерывную счислимость имманентно, доказывая несовместимость между–числовой несчислимости с внутри–числовой счислимостью; здесь же он подходит к этой теории извне, заранее объявляя, что «ни по количеству, ни по качеству мы не видим, чтобы единица отличалась от единицы» (1082b 4—5). С этой точки зрения тоже непонятно Аристотелю: «Какую [особенную] причину сможет выставить [для себя] тот, кто говорит, что они — безразличны» (10—11)? Для него ведь все различия исчерпываются понятиями «больше» и «меньше» (7).

5. Еще Аристотель говорит так. Мы всегда можем складывать одну единицу с другой. Но что получится, если мы одну единицу возьмем из идеальной двойки, другую же — из идеальной тройки? Будет ли она раньше тройки или позже? С одной стороны, она, несомненно, раньше, так как она есть именно двойка а не тройка. А с другой стороны, она должна быть позже ее, потому что одна из ее единиц взята из тройки, и, следовательно, тройка должна уже существовать, чтобы получилась двойка. Но видимо, говорит Аристотель, новая двойка все–таки раньше тройки, так как она находится как бы посредине между двойкой и тройкой, или так как в ней (привожу неясные слова самого Аристотеля) «одна из единиц — вместе с тройкой, другая же—вместе с двойкой» (1082b 11 —19). — В этом аргументе Аристотель, по–видимому, хочет именно уличить в противоречии и не просто сказать, что новая двойка — раньше старой тройки. Если это последнее так ясно и определенно, то тогда не о чем и спорить. Главная же суть аргумента — в том, что для Аристотеля именно неясно, куда деть эту новую двойку. Кроме того, если иметь в виду общую позицию Аристотеля в этих аргументах, т. е. критику прерывной счислимости, то открывается более выпукло намерение Аристотеля в этом замечании. Именно, платоники ведь говорят о внутри–числовой счислимости. Хорошо, говорит Аристотель. Ну а если мы составим двойку из разных единиц? «Двойка» и «тройка» несчислимы, а их единицы внутри каждой из них счислимы. Но возьмем одну единицу из «двойки» и одну из «тройки». Получится новая двойка, в которой отдельные единицы будут между собою уже несчислимы, как взятые из сферы несчис–лимых между собою чисел. Следовательно, Аристотель доказал существование внутри–числовой несчислимости, обязательное для платоников. — Этот аргумент тоже не колеблет платонической теории прерывной счислимости. Он тоже основан на невнимании к природе идеального числа. Выражаясь математическим языком, можно взять из двух «множеств» по одному «элементу» и образовать из них новое «множество». Это нисколько не помешает существованию первых двух множеств, и новое множество займет среди них вполне определенное место. Только не надо сводить «множество» на простое арифметическое число. В множество входит еще идея порядка, которой нет в арифметическом числе. Ее–то и игнорирует все время Аристотель. Получивши — фиктивно для себя — новую качественную двойку, он начинает и к ней опять относиться арифметически. Получается только нелепость. Эту двойку некуда деть; для нее нет места (раз уже есть одна двойка).

6) Подходим к последнему аргументу этой главы XIII 7. Тройка во всяком случае должна быть больше двойки. Пусть это есть идеальное число. Все равно тройка больше двойки, и двойка входит в тройку. Но это значит, что двойка, входящая в тройку, и двойка сама по себе — одно и то же. Если же это не так, то лучше тогда просто не говорить о числах. Тогда получится идея, а не число. В отношении идей действительно нельзя говорить о «первом» или «втором», ибо все идеи суть индивидуально неповторимые единства, данные совершенно сразу и одновременно. Тут не будет уже никакого «раньше» или «позже», никакой счетности, никакого «прибавления» по единице. Числа будут самыми настоящими идеями, и больше ничего. Но раз числа суть именно числа, хотя бы и идеальные, они всегда счетны и всегда счислимы через «прибавление» (1082b 19—33). — Этот аргумент есть своеобразная комбинация аргументов № 1 и 3. Из аргумента № 1 взята мысль, что меньшее число, входящее в большее, должно было бы разрушить однородную счислимость в большем числе. Из аргумента № 3 взята мысль, что идеальные числа суть, собственно говоря, не числа, а идеи. Отличие этого аргумента от первого и третьего заключается в том, что он не есть имманентная критика платонической теории чисел, но дает совершенно новую платформу для рассмотрения всего вопроса. Эта платформа есть учение о «прибавлении», т. е. о чистой и абсолютной счислимости. С этой точки зрения Аристотель и рассматривает здесь противоречие между внутри–числовой счислимостью и между–числовой несчислимостью, а также противоречие между понятиями «идеи» и «числа».

Таковы шесть аргументов, приведенных Аристотелем против теории прерывной счислимости чисел. Чтобы не оставить их в сыром виде, необходимо их тщательно сравнить один с другим и, если возможно, объединить под одной идеей. Внимательно всматриваясь в них, мы замечаем, что сделать это не так трудно.

b) Прежде всего, аргумент № 4, как мы уже заметили, есть не больше как вариация аргумента № 1. В последнем говорилось, что более мелкие числа, будучи отличены в более крупных числах, превращают их в разнокачественные и лишают их внутренней однородности. Аргумент же № 4 говорит, что сделать это и невозможно, так как существуют только абсолютно однородные числа. Далее, аргумент № 6 есть также не более как вариация аргумента № 3 и даже аргумента № 1. В № 3 утверждается, что идея, распадаясь на идеи, не может превратиться в числа и что поэтому то, что происходит из Единого и Неопределенной Двоицы как идей, не может быть числами. Аргумент же № 6 устанавливает, что это и невозможно, так как числа происходят не путем «порождения» из идей, но путем «прибавления» по единице. Аргумент № 2 имеет более общее значение и высказывает то, чем не может быть отношение между идеальным и арифметическим числом. Наконец, аргумент № 5 аналогичен аргументам № 1 и 4 в том отношении, что тоже констатирует возможность внесения в число, с точки зрения самих же платоников, разнокачественности и несчислимости. Таким образом, основными аргументами остаются № 1 и 3. Первый гласит, что несчислимые числа обязательно входят в каждое число уже по одному тому, что каждое большее число состоит из суммы меньших. Другой же аргумент утверждает, что несчислимые числа находятся между собою, собственно говоря, не в числовом отношении, но в идеальном. Ясно, что эти два аргумента также могут быть сведены к одному. Платоники утверждали, что между–число–вая несчислимость нисколько не мешает существованию внутри–числовой счислимости. Аристотель же доказывает, что если проводить последовательно платоническую точку зрения, то необходимо говорить об абсолютной несчислимости, что и есть на самом деле уничтожение самой природы числа и замена числовых отношений идейно–логическими; если же стать на его, Аристотеля, точку зрения, то нужно говорить об абсолютной счислимости и отказаться от самого намерения признавать какие–нибудь иные числа, кроме арифметических.

Итак, основным возражением Аристотеля является упрек в замене числового принципа логическим и идейным (№ 3 и 6); отсюда вытекает немыслимое для Аристотеля внесение разнокачественности в самую структуру числа (№ 1, 4 и 5); и, наконец, результатом этого оказывается, что от обыкновенных арифметических чисел нет совершенно никакого перехода к числам идеальным (№ 2).

12. ОБОБЩЕНИЕ ОБЕИХ КРИТИК

На этом Аристотель заканчивает свою критику несчислимости чисел, с тем чтобы в дальнейшем перейти к критике еще иных концепций Однако, прежде чем последовать в этом за ним, попробуем сравнить два основных отдела критики несчислимости чисел. Аристотель, как мы помним, сначала критиковал абсолютную несчислимость, потом перешел к прерывной счислимости. В первом случае его критика, если мы припомним, сводилась к указанию того, что уже самое оперирование принципами структуры несчислимого числа предполагает использование чисто количественной точки зрения, чисто арифметической раздельности. Нельзя построить самую структуру числа, говорил там Аристотель, без того, чтобы не воспользоваться однородной счисли–мостью чисто арифметического числа. И это он показывал как на принципах структуры числа, так и на результате этой структуры — на самих числах. Теперь в критике прерывной счислимости, как мы видим, он упрекает Платона в замене числового принципа идейным и в вытекающей отсюда внутренней разнокачественности числа. Нельзя ли как–нибудь объединить эти два основных аргумента против двух основных типов несчислимости и нельзя ли вывести их из единого принципа?

а) Я думаю, что это возможно сделать, если мы пожелаем тщательно проанализировать сравнительное значение того и другого. Мне кажется, что второй аргумент, т. е. вся критика прерывной счислимости, представляет собою лишь развитие первого аргумента, главным же образом его третьего аспекта. Вспомним: в этом третьем аспекте первой критики Аристотель ставил перед Платоном дилемму абсолютной несчислимости чисел и невозможности счета, с одной стороны, и, с другой — возможности счета и невозможности происхождения чисел из Единого и Неопределенной Двоицы, т. е. из идей. Это, кажется, та же самая дилемма, которую развивает Аристотель и в аргументах № 3 и 6 в критике прерывной счислимости. Но этот аргумент есть лишь третий аспект более общего принципа, а именно возражения относительно имплицитного использования арифметической счислимости в оперировании с логической структурой числа. Значит, и вся критика прерывной счислимости основывается все на том же аргументе об имманентной свойственности счислимого числа самой его структуре. Отсюда всю вообще аристотелевскую критику несчислимых чисел можно изобразить в следующем виде.